Considere um conjunto C de 20 pontos do espaço que tem um subconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de C são coplanares, então eles são pontos de C3. Quantos são os planos que contem pelo menos três pontos de C?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto $ C $ com 20 pontos no espaço. Dentro desse conjunto, há um subconjunto $ C_1 $ com 8 pontos que estão todos no mesmo plano (coplanares). Além disso, sempre que 4 pontos de $ C $ estão no mesmo plano, eles pertencem a outro subconjunto chamado $ C_3 $.
Nosso objetivo é descobrir quantos planos contêm pelo menos três pontos de $ C $. Para isso, vamos usar conceitos de combinatória e geometria, especialmente sobre como pontos definem planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar os planos formados pelos pontos que estão todos no subconjunto $ C_1 $. Como temos 8 pontos coplanares, qualquer tripla desses pontos está no mesmo plano $ C_1 $. Mas, precisamos contar apenas um plano nesse caso, já que todos esses pontos estão no mesmo plano.
Então, já temos 1 plano: o plano que contém os 8 pontos de $ C_1 $.

Passo 3

Agora, vamos considerar os demais 12 pontos que não estão no subconjunto $ C_1 $. Esses pontos não estão todos no mesmo plano, então cada combinação de 3 pontos diferentes desses pode formar um novo plano, desde que não sejam coplanares.
Para contar esses planos, usamos a combinação de 12 pontos tomados de 3 em 3:
C1
Então, temos 220 planos formados pelas combinações desses 12 pontos.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se existem planos adicionais que contenham pontos de $ C $ que envolvem pontos do subconjunto $ C_1 $ e dos outros 12 pontos.
Cada plano adicional seria formado por 2 pontos de $ C_1 $ e 1 ponto dos outros 12 pontos. Para cada par de pontos em $ C_1 $, podemos escolher 1 ponto dos outros 12 para formar um plano.
O número de pares em $ C_1 $ é:
C
E para cada par, temos 12 opções de pontos. Então, o total de planos adicionais é:
C1
Mas, precisamos lembrar que se 4 pontos são coplanares, eles pertencem a $ C_3 $, o que significa que não temos mais restrições aqui. Portanto, todos esses 336 planos são distintos dos já contados.

Passo 5

Finalmente, somamos todos os planos que encontramos:
  • 1 plano do subconjunto $ C_1 $
  • 220 planos formados pelos 12 pontos restantes
  • 336 planos formados por combinações de $ C_1 $ e os outros pontos
Total de planos:
C1

Resposta

Existem 557 planos que contêm pelo menos três pontos do conjunto $ C $.

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