Considere um polígono convexo de n lados e suponha que não há duas de suas diagonais que sejam paralelas nem três que concorram em um mesmo ponto que não seja vértice. Quantos desses pontos de interseção são interiores ao poligono?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um polígono convexo com $ n $ lados. Queremos descobrir quantos pontos de interseção das diagonais ficam dentro desse polígono. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória e geometria. Precisamos entender como as diagonais se cruzam dentro do polígono.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar sobre as diagonais de um polígono convexo. Uma diagonal conecta dois vértices que não são adjacentes. Para que duas diagonais se cruzem dentro do polígono, elas devem ter quatro vértices distintos envolvidos.

Passo 3

Agora, precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher 4 vértices diferentes de um polígono de $ n $ lados. Cada conjunto de 4 vértices distintos vai determinar exatamente um ponto de interseção das diagonais.

Passo 4

Para calcular isso, usamos a combinação, que é uma forma de escolher itens sem se preocupar com a ordem. A fórmula para combinações é:
C(n, 4) = n!4! times (n-4)!
Isso simplifica para:
C(n, 4) = n(n-1)(n-2)(n-3)24

Resposta

O número de pontos de interseção internos das diagonais no polígono convexo é dado por:
n(n-1)(n-2)(n-3)24

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