Considere um conjunto de dados formado por n valores. Adicionando-se a esse conjunto o número 119, a média aumenta 4 unidades em relação à média inicial; retirando-se do conjunto original o número 54, a média diminui 1 unidade em relação à média inicial.
b) Qual é a média aritmética inicial do conjunto de dados?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um conjunto de dados com valores e queremos encontrar a média aritmética inicial desse conjunto. Para isso, usamos conceitos de média e como ela é afetada quando adicionamos ou removemos elementos do conjunto.

Passo 2

Vamos chamar a média inicial de . Sabemos que a soma dos valores do conjunto é .

Passo 3

Quando adicionamos o número 119 ao conjunto, passamos a ter S + 119 = (n + 1) times (m + 4) valores, e a nova média passa a ser . Então, a nova soma será:
Isso nos dá a primeira equação.

Passo 4

Agora, se retirarmos o número 54 do conjunto original, ficamos com S - 54 = (n - 1) times (m - 1) valores, e a média passa a ser . A soma agora será:
Essa é a segunda equação.

Passo 5

Temos duas equações agora:
Vamos resolver essas equações para encontrar o valor de .

Passo 6

Expande a primeira equação:
n times m + 119 = n times m + m + 4n + 4
Simplificando:
119 = m + 4n + 4
m + 4n = 115 (Equação A) çã

Passo 7

Expande a segunda equação:
n times m - 54 = n times m - m - n + 1
Simplificando:
-54 = -m - n + 1
m + n = 55 (Equação B) çã

Passo 8

Agora temos duas equações:
m + 4n = 115 m + n = 55
Vamos resolver esse sistema. Subtraia a Equação B da Equação A:
(m + 4n) - (m + n) = 115 - 55
3n = 60
n = 20

Passo 9

Com m + 20 = 55 , substituímos na Equação B para encontrar m = 35 :

Resposta

A média aritmética inicial do conjunto de dados é .

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