Considere um conjunto de 5 elementos. Usando o algoritmo HeapSort para ordenar em ordem decrescente, responda às seguintes perguntas:
Explique como o HeapSort garante a ordenação correta dos elementos após cada remoção do menor elemento.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a pergunta está pedindo! Temos um conjunto de 5 elementos e queremos ordenar esses elementos em ordem decrescente usando o algoritmo HeapSort. O foco aqui é explicar como o HeapSort consegue manter a ordenação correta dos elementos depois que removemos o menor elemento. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a estrutura de dados Heap, como o HeapSort utiliza essa estrutura e como ele reorganiza os elementos após cada remoção para garantir que estejam na ordem certa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o HeapSort. O HeapSort é um algoritmo de ordenação que usa uma estrutura de dados chamada heap (ou montículo). Um heap é basicamente uma árvore binária completa onde cada nó pai é maior (max-heap) ou menor (min-heap) que seus filhos. Para ordenar de forma decrescente, a gente utiliza um max-heap, onde o maior elemento está na raiz.

Passo 3

O HeapSort funciona em duas etapas principais:
  1. Construção do Heap: Primeiro, organizamos os elementos do conjunto em um max-heap. Isso garante que o maior elemento esteja na raiz do heap.
  2. Ordenação: Em seguida, repetidamente removemos o maior elemento (a raiz do heap) e o colocamos na posição correta na lista ordenada. Depois de cada remoção, reorganizamos o heap para manter a propriedade de max-heap.

Passo 4

Vamos detalhar a segunda etapa: a como o HeapSort garante a ordenação correta após cada remoção do maior elemento.
Quando removemos a raiz do heap (o maior elemento), substituímos essa raiz pelo último elemento do heap e reduzimos o tamanho do heap em um. Agora, esse novo elemento na raiz pode não obedecer à propriedade de max-heap, então precisamos reestruturar o heap. Fazemos isso aplicando a operação de “heapify”, que basicamente compara o novo elemento com seus filhos e troca de posição com o maior deles se necessário. Repetimos esse processo até que o heap esteja novamente organizado como um max-heap.

Passo 5

Vamos ilustrar com um exemplo simples. Suponha que temos os elementos [4, 1, 3, 2, 5].
  1. Construção do Heap: Transformamos isso em um max-heap, que fica [5, 4, 3, 2, 1].
  2. Primeira remoção: Removemos 5 e colocamos na posição final da lista ordenada. Agora a lista fica [1, 4, 3, 2 | 5]. Aplicamos heapify no heap restante [1, 4, 3, 2], reorganizando para [4, 2, 3, 1].
  3. Segunda remoção: Removemos 4 e colocamos na segunda posição final. A lista fica [1, 2, 3 | 4, 5]. Aplicamos heapify de novo, resultando em [3, 2, 1].
  4. Terceira remoção: Removemos 3, ficando [1, 2 | 3, 4, 5]. Heapify dá [2, 1].
  5. Quarta remoção: Removemos 2, ficando [1 | 2, 3, 4, 5]. Já está ordenado.

Resposta

O HeapSort garante a ordenação correta dos elementos após cada remoção do maior elemento reorganizando o heap de modo a manter a propriedade de max-heap. Isso é feito aplicando a operação de heapify após cada remoção, garantindo que o próximo maior elemento esteja sempre na raiz do heap. Assim, ao remover sucessivamente os maiores elementos e reestruturar o heap, obtemos uma lista ordenada em ordem decrescente.

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