Encontre o limite superior para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(n) = n + n \log n + \sqrt{n} $ e precisa encontrar o limite superior dela. Isso faz parte da matéria de Análise de Algoritmos, mais especificamente usando a notação Big O, que ajuda a entender como a função se comporta quando $ n $ cresce bastante. Para resolver isso, vamos identificar qual termo da função domina os outros conforme $ n $ aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da função: $ n $, $ n \log n $ e $ \sqrt{n} $. Cada um desses termos cresce a uma taxa diferente conforme $ n $ aumenta. A gente precisa ver qual desses cresce mais rápido, porque esse será o termo que vai determinar o limite superior da função inteira.
Passo 3
Vamos comparar os termos:
- $ \sqrt{n} $ cresce mais lentamente que $ n $, porque a raiz de $ n $ aumenta menos rapidamente.
- $ n $ cresce mais rápido que $ \sqrt{n} $, mas mais lentamente que $ n \log n $.
- $ n \log n $ é o que cresce mais rapidamente entre os três, já que o logaritmo faz com que esse termo aumente mais que linearmente.
Passo 4
Como estamos procurando o limite superior, a gente foca no termo que domina quando $ n $ fica bem grande, que nesse caso é $ n \log n $. Os outros termos, $ n $ e $ \sqrt{n} $, se tornam relativamente pequenos comparados a $ n \log n $.
Passo 5
Então, usando a notação Big O, a função $ f(n) = n + n \log n + \sqrt{n} $ tem um limite superior dado por $ O(n \log n) $. Isso significa que, para valores grandes de $ n $, o crescimento da função não será maior que algo do tipo $ n \log n $.
Resposta
O limite superior para $ f(n) = n + n \log n + \sqrt{n} $ é $ O(n \log n) $.