Encontre o limite superior para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite superior da função $ f(n) = \frac{n^{5}}{1000} - 100 n^{3} - \log n + 3 $. Isso está ligado ao estudo de análise assintótica, onde queremos entender como a função se comporta quando $ n $ cresce muito. Para resolver, vamos precisar identificar qual termo da função domina os demais quando $ n $ fica grande.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para cada termo da função:
- $ \frac{n^{5}}{1000} $: Esse é um termo polinomial de grau 5.
- $ -100 n^{3} $: Esse é um termo polinomial de grau 3.
- $ -\log n $: Esse é um termo logarítmico.
- $ +3 $: Esse é um termo constante.
Passo 3
Agora, precisamos entender qual desses termos cresce mais rápido quando $ n $ aumenta. Em geral, a ordem de crescimento dos termos é:
Constante $ < $ Logarítmico $ < $ Polinomial de menor grau $ < $ Polinomial de grau maior.
Então, entre $ n^{5} $, $ n^{3} $, $ \log n $ e uma constante, o termo $ n^{5} $ é o que mais cresce.
Passo 4
Como o termo $ \frac{n^{5}}{1000} $ domina os demais, ele determina o comportamento da função para valores grandes de $ n $. Os outros termos, apesar de crescerem, são insignificantes comparados a $ n^{5} $ quando $ n $ é muito grande.
Passo 5
Portanto, o limite superior da função $ f(n) $ é dado por $ n^{5} $. Em notação assintótica, dizemos que $ f(n) $ está na ordem de $ n^{5} $, ou seja, $ f(n) = O(n^{5}) $.
Resposta
O limite superior da função $ f(n) $ é $ O(n^{5}) $.