Considere o conjunto . Dados e , defina as seguintes operações:
é um espaço vetorial sobre ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre os números reais . Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as propriedades (axiomas) que definem um espaço vetorial e verificar se essas operações as satisfazem.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular rapidamente o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, seguindo certas regras, como a existência de um vetor zero, associatividade, comutatividade da adição, etc.

Passo 3

Vamos começar verificando se a operação de adição definida por é válida. Uma das propriedades fundamentais é que a adição deve ser comutativa, ou seja, para quaisquer vetores e .

Passo 4

Vamos testar isso com dois vetores quaisquer. Seja e . Então:
Parece que funciona nesse caso específico. Mas precisamos verificar se isso vale para todos os vetores.

Passo 5

Agora, vamos verificar a existência do vetor zero. O vetor zero deve satisfazer para qualquer vetor . Vamos ver:
Se , então:
Mas , e a menos que . Isso significa que não retorna o próprio a menos que , o que não é sempre verdadeiro.

Passo 6

Essa falha na existência do vetor zero já nos mostra que as operações não satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Mesmo que outras propriedades possam ser verificadas, a ausência de um vetor zero válido impede que seja um espaço vetorial sob as operações definidas.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial sobre , porque a operação de adição definida não satisfaz o axioma de existência do vetor zero para todos os vetores em .

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