Considere o conjunto
. Dados
e
, defina as seguintes operações:
é um espaço vetorial sobre
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
, com as operações definidas de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as propriedades (axiomas) que definem um espaço vetorial e verificar se essas operações as satisfazem.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular rapidamente o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar, seguindo certas regras, como a existência de um vetor zero, associatividade, comutatividade da adição, etc.
Passo 3
Vamos começar verificando se a operação de adição
definida por
é válida. Uma das propriedades fundamentais é que a adição deve ser comutativa, ou seja,
para quaisquer vetores
e
.
Passo 4
Vamos testar isso com dois vetores quaisquer. Seja
e
. Então:
Parece que funciona nesse caso específico. Mas precisamos verificar se isso vale para todos os vetores.
Passo 5
Agora, vamos verificar a existência do vetor zero. O vetor zero deve satisfazer
para qualquer vetor
. Vamos ver:
Se
, então:
Mas
, e
a menos que
. Isso significa que
não retorna o próprio
a menos que
, o que não é sempre verdadeiro.
Passo 6
Essa falha na existência do vetor zero já nos mostra que as operações não satisfazem os axiomas de um espaço vetorial. Mesmo que outras propriedades possam ser verificadas, a ausência de um vetor zero válido impede que
seja um espaço vetorial sob as operações definidas.
Resposta
Não,
não é um espaço vetorial sobre
, porque a operação de adição definida não satisfaz o axioma de existência do vetor zero para todos os vetores em
.
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ao Plano
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