Encontre a distância do ponto P ao Plano pi, nos casos:
a) P(2,-1,2), pi: 2 x-2 y-z+3=0 Rpta: 7 / 3

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a distância entre um ponto P(2, -1, 2) e um plano dado pela equação pi: 2x - 2y - z + 3 = 0. Para isso, vamos usar a fórmula de distância entre um ponto e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular a distância D de um ponto (x0, y0, z0) a um plano cuja equação é Ax + By + Cz + D = 0. A fórmula é:
D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto ao plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na equação do plano pi:
  • A = 2
  • B = -2
  • C = -1
  • D = 3
E as coordenadas do ponto P são (x0, y0, z0) = (2, -1, 2).

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula de distância:
D = |2 cdot 2 + (-2) cdot (-1) + (-1) cdot 2 + 3|raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2

Passo 5

Calculando o numerador:
2 cdot 2 = 4 -2 cdot -1 = 2 -1 cdot 2 = -2 Somando tudo: 4 + 2 - 2 + 3 = 7
Então, o numerador é |7| = 7.

Passo 6

Calculando o denominador:
2^2 = 4 (-2)^2 = 4 (-1)^2 = 1 Somando tudo: 4 + 4 + 1 = 9 raiz9 = 3

Passo 7

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
D = 73

Resposta

A distância do ponto P(2, -1, 2) ao plano pi é 73 unidades.

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