Escrever as equações dos planos paralelos ao plano
:
que distam 5 unidades da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações de planos que são paralelos ao plano dado
e que estão a uma distância de 5 unidades da origem. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e a fórmula de distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que planos paralelos têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano
é dado pelos coeficientes de
,
e
, ou seja,
. Então, qualquer plano paralelo a
terá a forma geral:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
tal que a distância desse plano à origem
seja exatamente 5 unidades. A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
Como queremos a distância da origem, substituímos
:
Passo 4
Resolvendo para
:
Isso significa que
pode ser
ou
.
Passo 5
Então, as equações dos planos paralelos a
que estão a 5 unidades da origem são:
Resposta
As equações dos planos são:
Exercícios relacionados
Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
Encontre a distância do ponto
ao Plano
, nos casos:
a) Rpta:
a)
Considere o conjunto
. Dados
e
, defina as seguintes operações: