Escrever as equações dos planos paralelos ao plano pi : 3 x-2 y-6 z-5=0 que distam 5 unidades da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações de planos que são paralelos ao plano dado pi: 3x - 2y - 6z - 5 = 0 e que estão a uma distância de 5 unidades da origem. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e a fórmula de distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que planos paralelos têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano pi é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, n = (3, -2, -6). Então, qualquer plano paralelo a pi terá a forma geral:
3x - 2y - 6z + D = 0
onde D é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de D tal que a distância desse plano à origem (0, 0, 0) seja exatamente 5 unidades. A fórmula para a distância d de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
Como queremos a distância da origem, substituímos (x0, y0, z0) = (0, 0, 0):
5 = |3(0) - 2(0) - 6(0) + D|raiz3^2 + (-2)^2 + (-6)^2 5 = |D|raiz9 + 4 + 36 5 = |D|raiz49 5 = |D|7

Passo 4

Resolvendo para D:
|D| = 5 times 7 |D| = 35
Isso significa que D pode ser 35 ou -35.

Passo 5

Então, as equações dos planos paralelos a pi que estão a 5 unidades da origem são:
3x - 2y - 6z + 35 = 0 3x - 2y - 6z - 35 = 0

Resposta

As equações dos planos são:
3x - 2y - 6z + 35 = 0 3x - 2y - 6z - 35 = 0

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