Escrever as equações dos planos paralelos ao plano : que distam 5 unidades da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações de planos que são paralelos ao plano dado e que estão a uma distância de 5 unidades da origem. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e a fórmula de distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que planos paralelos têm o mesmo vetor normal. O vetor normal do plano é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, . Então, qualquer plano paralelo a terá a forma geral:
onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de tal que a distância desse plano à origem seja exatamente 5 unidades. A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Como queremos a distância da origem, substituímos :

Passo 4

Resolvendo para :
Isso significa que pode ser ou .

Passo 5

Então, as equações dos planos paralelos a que estão a 5 unidades da origem são:

Resposta

As equações dos planos são:

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Identifique e esboce a cônica das equações. Nos casos das cônicas regulares, apresente a equação canônica em um novo eixo de coordenadas.
Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
Encontre a distância do ponto ao Plano , nos casos:
a) Rpta:
Considere o conjunto . Dados e , defina as seguintes operações:
é um espaço vetorial sobre ? Justifique sua resposta.