Considere uma conta que está confinada em uma argola circular rígida, de raio , apoiada no plano com o seu centro em , e use o ângulo , a coordenada polar em duas dimensões, como uma coordenada generalizada para descrever a posição da conta. Obtenha as equações que fornecem as coordenadas Cartesianas em termos de e a equação que fornece a coordenada generalizada em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma conta (ou partícula) que está presa em uma argola circular rígida de raio , que está apoiada no plano com o centro na origem . Queremos descrever a posição dessa conta usando um ângulo como coordenada geral.
Então, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cartesianas para relacionar com as coordenadas e . Para isso, precisamos saber como converter entre essas duas formas de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares e cartesianas. Em coordenadas polares, a posição de um ponto no plano é descrita por um raio (distância do ponto à origem) e um ângulo (medido a partir do eixo ). Em coordenadas cartesianas, usamos e para descrever a posição.
Como a conta está sempre na argola de raio , sabemos que o raio é constante e igual a . Portanto, a posição da conta pode ser descrita apenas pelo ângulo .

Passo 3

Vamos agora relacionar com e . Usamos as fórmulas de conversão de coordenadas polares para cartesianas:
Como , substituímos:
Estas são as equações que fornecem as coordenadas cartesianas em termos de .

Passo 4

Agora, queremos expressar em termos de e . Para isso, usamos a relação inversa das funções trigonométricas. Sabemos que:
Então, para encontrar , tiramos o arco-tangente de ambos os lados:
Esta é a equação que nos dá a coordenada generalizada em termos de .

Resposta

As coordenadas cartesianas em termos de são:
E a coordenada generalizada em termos de é:

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