Considere uma conta que está confinada em uma argola circular rígida, de raio
, apoiada no plano
com o seu centro em
, e use o ângulo
, a coordenada polar em duas dimensões, como uma coordenada generalizada para descrever a posição da conta. Obtenha as equações que fornecem as coordenadas Cartesianas
em termos de
e a equação que fornece a coordenada generalizada
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma conta (ou partícula) que está presa em uma argola circular rígida de raio
, que está apoiada no plano
com o centro na origem
. Queremos descrever a posição dessa conta usando um ângulo
como coordenada geral.
Então, vamos usar conceitos de coordenadas polares e cartesianas para relacionar
com as coordenadas
e
. Para isso, precisamos saber como converter entre essas duas formas de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares e cartesianas. Em coordenadas polares, a posição de um ponto no plano é descrita por um raio
(distância do ponto à origem) e um ângulo
(medido a partir do eixo
). Em coordenadas cartesianas, usamos
e
para descrever a posição.
Como a conta está sempre na argola de raio
, sabemos que o raio
é constante e igual a
. Portanto, a posição da conta pode ser descrita apenas pelo ângulo
.
Passo 3
Vamos agora relacionar
com
e
. Usamos as fórmulas de conversão de coordenadas polares para cartesianas:
Como
, substituímos:
Estas são as equações que fornecem as coordenadas cartesianas
em termos de
.
Passo 4
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Para isso, usamos a relação inversa das funções trigonométricas. Sabemos que:
Então, para encontrar
, tiramos o arco-tangente de ambos os lados:
Esta é a equação que nos dá a coordenada generalizada
em termos de
.
Resposta
As coordenadas cartesianas
em termos de
são:
E a coordenada generalizada
em termos de
é:
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