Mostre que o caminho para o qual a integral é uma função seno hiperbólica

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função que torna a integral é uma função seno hiperbólica. Isso está no campo do Cálculo de Variações, onde buscamos encontrar a função que extrema (máximo ou mínimo) uma determinada integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o Princípio de Euler-Lagrange, que nos ajuda a encontrar essa função ótima.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, chamada de Lagrangiana. No nosso caso, a Lagrangiana é:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

O próximo passo é aplicar a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
Vamos calcular cada termo dessa equação para a nossa Lagrangiana.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Isso porque não depende explicitamente de , apenas de .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada em relação a dessa expressão:
Para simplificar, vamos aplicar a regra do produto:

Passo 7

Agora, substituímos os termos na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:

Passo 8

Vamos agora definir uma substituição para simplificar a equação. Seja:
Isso implica que:

Passo 9

Com essa substituição, a equa��ão se torna:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 10

Resolvendo a equação diferencial:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos absorver na constante, chamando-a de :

Passo 12

Lembrando que , temos:
Resolvendo para :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Tomando a raiz:

Passo 13

Integrando ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função que torna a integral uma função seno hiperbólica é dada por:
Onde e são constantes determinadas pelas condições do problema.

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