Mostre que o caminho y=y(x) para o qual a integral integralx1^x2 x raiz1-y^prime 2 d x é uma função seno hiperbólica

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função que torna a integral é uma função seno hiperbólica. Isso está no campo do Cálculo de Variações, onde buscamos encontrar a função que extrema (máximo ou mínimo) uma determinada integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o Princípio de Euler-Lagrange, que nos ajuda a encontrar essa função ótima.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, chamada de Lagrangiana. No nosso caso, a Lagrangiana L = x raiz1 - y'^2 é:
Aqui, representa a derivada de em relação a .

Passo 3

O próximo passo é aplicar a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
partial Lpartial y - ddx( partial Lpartial y' ) = 0
Vamos calcular cada termo dessa equação para a nossa Lagrangiana.

Passo 4

Primeiro, calculamos a derivada parcial de partial Lpartial y = 0 em relação a :
Isso porque não depende explicitamente de , apenas de .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Lpartial y' = x cdot ddy' ( raiz1 - y'^2 ) = x cdot ( -y'raiz1 - y'^2 ) = -x y'raiz1 - y'^2 em relação a :

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada em relação a ddx ( partial Lpartial y' ) = ddx ( -x y'raiz1 - y'^2 ) dessa expressão:
= -y'raiz1 - y'^2 - x cdot ddx( y'raiz1 - y'^2 )
Para simplificar, vamos aplicar a regra do produto:

Passo 7

Agora, substituímos os termos na Equação de Euler-Lagrange:
0 - ( -y'raiz1 - y'^2 - x cdot ddx( y'raiz1 - y'^2 ) ) = 0
Simplificando:
y'raiz1 - y'^2 + x cdot ddx( y'raiz1 - y'^2 ) = 0

Passo 8

Vamos agora definir uma substituição para simplificar a equação. Seja:
u = y'raiz1 - y'^2
Isso implica que:
y' = uraiz1 + u^2

Passo 9

Com essa substituição, a equa��ão se torna:
u + x cdot dudx = 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 10

Resolvendo a equação diferencial:
dudx = -ux
Separando as variáveis:
duu = -dxx
Integrando ambos os lados:
ln |u| = -ln |x| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|u| = e^-ln |x| + C = e^C cdot x^-1
Podemos absorver u = kx na constante, chamando-a de :

Passo 12

Lembrando que y'raiz1 - y'^2 = kx , temos:
y' = kx raiz1 - y'^2
Resolvendo para y'^2 = k^2x^2 (1 - y'^2) :
y'^2 + k^2x^2 y'^2 = k^2x^2
Elevando ao quadrado ambos os lados:
y'^2 (1 + k^2x^2) = k^2x^2
y'^2 = k^2x^2 + k^2
y' = kraizx^2 + k^2
Tomando a raiz:

Passo 13

Integrando ambos os lados para encontrar y = integral kraizx^2 + k^2 , dx = sinh^-1( xk ) + C :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função y(x) = sinh( xk ) + C que torna a integral uma função seno hiperbólica é dada por:
Onde e são constantes determinadas pelas condições do problema.

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