Mostre que o caminho
para o qual a integral
é uma função seno hiperbólica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
que torna a integral
é uma função seno hiperbólica. Isso está no campo do Cálculo de Variações, onde buscamos encontrar a função que extrema (máximo ou mínimo) uma determinada integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o Princípio de Euler-Lagrange, que nos ajuda a encontrar essa função ótima.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está dentro da integral, chamada de Lagrangiana. No nosso caso, a Lagrangiana
é:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
O próximo passo é aplicar a Equação de Euler-Lagrange, que é dada por:
Vamos calcular cada termo dessa equação para a nossa Lagrangiana.
Passo 4
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Isso porque
não depende explicitamente de
, apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada em relação a
dessa expressão:
Para simplificar, vamos aplicar a regra do produto:
Passo 7
Agora, substituímos os termos na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Passo 8
Vamos agora definir uma substituição para simplificar a equação. Seja:
Isso implica que:
Passo 9
Com essa substituição, a equa��ão se torna:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 10
Resolvendo a equação diferencial:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos absorver
na constante, chamando-a de
:
Passo 12
Lembrando que
, temos:
Resolvendo para
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Tomando a raiz:
Passo 13
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A função
que torna a integral
uma função seno hiperbólica é dada por:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições do problema.