Considere um contêiner esférico de raio interno
, raio externo
e condutividade térmica k. Expresse a condição de contorno na superfície interna do contêiner para condução unidimensional permanente nos seguintes casos: (a) temperatura especificada de
, (b) fluxo de calor especificado de
direção ao centro e © convecção para o meio em temperatura
com coeficiente de transferência de calor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um contêiner esférico com dois raios, interno
e externo
, e uma condutividade térmica
. O que a gente precisa fazer é encontrar as condições de contorno na superfície interna desse contêiner para três situações diferentes de condução de calor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em geometria esférica e entender como aplicar as condições de contorno adequadas para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o caso (a) onde a temperatura na superfície interna é especificada, ou seja,
.
Quando a temperatura é fixa em uma superfície, isso significa que a temperatura dentro do material na interface (no nosso caso,
) é constante. Matemáticamente, isso é representado como:
Essa equação é a condição de contorno que garante que a temperatura na superfície interna do contêiner seja sempre
.
Passo 3
Agora, vamos para o caso (b), onde o fluxo de calor na superfície interna é especificado como
em direção ao centro.
O fluxo de calor, denotado por
, está relacionado ao gradiente de temperatura através da condutividade térmica. Em termos matemáticos, isso é dado por:
Aqui, o sinal negativo indica que o calor flui na direção de menor temperatura. Como o fluxo de calor está especificado em direção ao centro, temos:
Portanto, a condição de contorno na superfície interna é:
Simplificando, a condição de contorno fica:
Passo 4
Por último, vamos para o caso ©, onde há convecção na superfície interna com temperatura do meio
e coeficiente de transferência de calor
.
Quando temos convecção na superfície, a transferência de calor é dada pela Lei de Resfriamento de Newton:
Aqui,
é o fluxo de calor convectivo,
é o coeficiente de transferência de calor,
é a temperatura na superfície interna e
é a temperatura do meio.
Combinando isso com a equação de condução de calor, temos a condição de contorno:
Essa equação relaciona o gradiente de temperatura na superfície interna com o fluxo de calor por convecção.
Resposta
As condições de contorno na superfície interna do contêiner esférico são:
(a) Para temperatura especificada de
:
(b) Para fluxo de calor especificado de
em direção ao centro:
© Para convecção com temperatura do meio
e coeficiente de transferência de calor
: