Considere uma parede plana de 20 cm de espessura e condutividade térmica de 0,77 W / mK. Sujeita à convecção em ambos lados (lado interno Tinfty 1=27^circ C e h1=5 W / m^2 K e lado externo Tinfty 2=8^circ C e h2=12 W / m^2 K ). Assumindo condutividade térmica constante com geração de calor nula e radiação desprezível (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma parede plana com 20 cm de espessura e uma certa condutividade térmica. A parede está sujeita à convecção em ambos os lados, ou seja, tem troca de calor tanto no lado interno quanto no externo. O que precisamos fazer aqui é formular a equação diferencial que descreve a condução de calor através da parede e também estabelecer as condições de contorno que representam as trocas de calor por convecção nos dois lados da parede.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a condução de calor. A condução é o processo de transferência de calor através de um material sem que haja movimento de massa. A equação que descreve esse processo em uma dimensão, em regime permanente (ou seja, onde as temperaturas não mudam com o tempo), é dada pela equação de Fourier para condução de calor:
ddx(k dTdx) + Q = 0
Aqui, d^2 Tdx^2 = 0 é a condutividade térmica do material, é a temperatura, é a direção de condução, e representa a geração de calor interna. No seu caso, foi mencionado que não há geração de calor ( ) e que a condutividade térmica é constante. Então, a equação simplifica para:
Agora, precisamos definir as condições de contorno, que são as condições de temperatura ou fluxos na interface da parede com os ambientes.

Passo 3

Dado que a parede está sujeita à convecção em ambos os lados, usamos a Lei de Resfriamento de Newton para relacionar o fluxo de calor com a diferença de temperatura entre a superfície da parede e o ambiente. A Lei de Resfriamento de Newton é dada por:
q = h (Ts - Tinfty)
Onde:
  • é o fluxo de calor convectivo,
  • é o coeficiente de convecção,
  • é a temperatura na superfície da parede,
  • é a temperatura do ambiente.
Essas relações servirão como condições de contorno na nossa equação diferencial.

Resposta

A equação diferencial que descreve a condução de calor unidimensional permanente através da parede é:
d^2 Tdx^2 = 0
As condições de contorno associadas são:
  1. No lado interno da parede ( -k dTdxg|x=0 = h1 (T(0) - Tinfty 1) ):
-k dTdxg|x=L = h2 (T(L) - Tinfty 2)
  1. No lado externo da parede ( , onde m):
Onde:
  • é a condutividade térmica,
  • e são os coeficientes de convecção nos lados interno e externo, respectivamente,
  • e são as temperaturas dos ambientes interno e externo.

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