Considere uma parede plana de 20 cm de espessura e condutividade térmica de
. Sujeita à convecção em ambos lados (lado interno
e
e lado externo
e
). Assumindo condutividade térmica constante com geração de calor nula e radiação desprezível (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da parede.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma parede plana com 20 cm de espessura e uma certa condutividade térmica. A parede está sujeita à convecção em ambos os lados, ou seja, tem troca de calor tanto no lado interno quanto no externo. O que precisamos fazer aqui é formular a equação diferencial que descreve a condução de calor através da parede e também estabelecer as condições de contorno que representam as trocas de calor por convecção nos dois lados da parede.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a condução de calor. A condução é o processo de transferência de calor através de um material sem que haja movimento de massa. A equação que descreve esse processo em uma dimensão, em regime permanente (ou seja, onde as temperaturas não mudam com o tempo), é dada pela equação de Fourier para condução de calor:
Aqui,
é a condutividade térmica do material,
é a temperatura,
é a direção de condução, e
representa a geração de calor interna. No seu caso, foi mencionado que não há geração de calor (
) e que a condutividade térmica
é constante. Então, a equação simplifica para:
Agora, precisamos definir as condições de contorno, que são as condições de temperatura ou fluxos na interface da parede com os ambientes.
Passo 3
Dado que a parede está sujeita à convecção em ambos os lados, usamos a Lei de Resfriamento de Newton para relacionar o fluxo de calor com a diferença de temperatura entre a superfície da parede e o ambiente. A Lei de Resfriamento de Newton é dada por:
Onde:
-
é o fluxo de calor convectivo, -
é o coeficiente de convecção, -
é a temperatura na superfície da parede, -
é a temperatura do ambiente.
Essas relações servirão como condições de contorno na nossa equação diferencial.
Resposta
A equação diferencial que descreve a condução de calor unidimensional permanente através da parede é:
As condições de contorno associadas são:
- No lado interno da parede (
):
- No lado externo da parede (
, onde m):
Onde:
-
é a condutividade térmica, -
e são os coeficientes de convecção nos lados interno e externo, respectivamente, -
e são as temperaturas dos ambientes interno e externo.