Considere uma PA crescente de três termos, em que a soma de seus termos é igual a 30. Assim, mantendo o segundo termo desta sequência e, adicionando 2 unidades ao primeiro termo e 3 unidades ao terceiro termo, temos uma PG. Nestas condições, assinale a alternativa que apresenta a soma do 1° termo da PA com o 3° termo da PG.
a.8
b.17
c.13
d.23

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Progressão Aritmética (PA) com três termos que somam 30. A gente vai precisar usar conceitos de PA e Progressão Geométrica (PG) pra resolver esse problema. Além disso, vamos precisar lidar com algumas equações matemáticas para encontrar os valores que estamos procurando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma PA. Em uma PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma, chamada de razão. Vamos chamar o primeiro termo da PA de $ a $ e a razão de $ d $. Assim, os três termos da PA são:
a

Passo 3

Sabemos que a soma desses três termos é igual a 30. Então, podemos escrever a equação:
a + (a + d) + (a + 2d) = 30
Simplificando:
3a + 3d = 30 implies a + d = 10 (1)

Passo 4

Agora, vamos formar uma Progressão Geométrica (PG) modificando a PA original. Mantemos o segundo termo da PA, que é $ a + d $. Adicionamos 2 unidades ao primeiro termo e 3 unidades ao terceiro termo, formando os termos da PG:
a + d

Passo 5

Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma. Vamos chamar essa razão de $ r $. Então, podemos escrever:
r

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre $ a $ e $ d $. Multiplicando em cruz temos:
a
Explicando a multiplicação:
d
Simplificando o lado direito:
(a + d)^2 = (a + 2)(a + 2d + 3)
Agrupando termos semelhantes:
a^2 + 2ad + d^2 = a(a + 2d + 3) + 2(a + 2d + 3)

Passo 7

Subtraindo $ a^2 + 2ad $ de ambos os lados:
a^2 + 2ad
Agora, lembrando da equação (1):
d^2 = 5a + 4d + 6

Passo 8

Substituindo $ a = 10 - d $ na equação $ d^2 = 5a + 4d + 6 $:
a = 10 - d
d^2 = 5a + 4d + 6
d^2 = 5(10 - d) + 4d + 6

Passo 9

Rearranjando a equação:
d^2 + d - 56 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
d = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -56 $.
a = 1
Isso nos dá duas soluções:
b = 1
Como a PA é crescente, descartamos $ d = -8 $. Então, $ d = 7 $.

Passo 10

Agora, encontramos $ d = 7 $. Usando a equação $ a = 10 - d $:
d = 7
Então, os termos da PA são:
a = 10 - d

Passo 11

Vamos agora formar a PG adicionando 2 ao primeiro termo e 3 ao terceiro termo da PA:
3 + 2 = 5, 10, 17 + 3 = 20
Então, os termos da PG são:
5, 10, 20

Passo 12

Para garantir que é uma PG, verificamos a razão:
105 = 2 e 2010 = 2
Como as razões são iguais, realmente é uma PG com razão $ r = 2 $.

Passo 13

Agora, queremos a soma do primeiro termo da PA com o terceiro termo da PG:
3 (da PA) + 20 (da PG) = 23

Resposta

23

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