Considere uma PA crescente de três termos, em que a soma de seus termos é igual a 30. Assim, mantendo o segundo termo desta sequência e, adicionando 2 unidades ao primeiro termo e 3 unidades ao terceiro termo, temos uma PG. Nestas condições, assinale a alternativa que apresenta a soma do 1° termo da PA com o 3° termo da PG.
a.8
b.17
c.13
d.23
a.8
b.17
c.13
d.23
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Progressão Aritmética (PA) com três termos que somam 30. A gente vai precisar usar conceitos de PA e Progressão Geométrica (PG) pra resolver esse problema. Além disso, vamos precisar lidar com algumas equações matemáticas para encontrar os valores que estamos procurando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma PA. Em uma PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma, chamada de razão. Vamos chamar o primeiro termo da PA de $ a $ e a razão de $ d $. Assim, os três termos da PA são:
Passo 3
Sabemos que a soma desses três termos é igual a 30. Então, podemos escrever a equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos formar uma Progressão Geométrica (PG) modificando a PA original. Mantemos o segundo termo da PA, que é $ a + d $. Adicionamos 2 unidades ao primeiro termo e 3 unidades ao terceiro termo, formando os termos da PG:
Passo 5
Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma. Vamos chamar essa razão de $ r $. Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre $ a $ e $ d $. Multiplicando em cruz temos:
Explicando a multiplicação:
Simplificando o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Subtraindo $ a^2 + 2ad $ de ambos os lados:
Agora, lembrando da equação (1):
Passo 8
Substituindo $ a = 10 - d $ na equação $ d^2 = 5a + 4d + 6 $:
Passo 9
Rearranjando a equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -56 $.
Isso nos dá duas soluções:
Como a PA é crescente, descartamos $ d = -8 $. Então, $ d = 7 $.
Passo 10
Agora, encontramos $ d = 7 $. Usando a equação $ a = 10 - d $:
Então, os termos da PA são:
Passo 11
Vamos agora formar a PG adicionando 2 ao primeiro termo e 3 ao terceiro termo da PA:
Então, os termos da PG são:
Passo 12
Para garantir que é uma PG, verificamos a razão:
Como as razões são iguais, realmente é uma PG com razão $ r = 2 $.
Passo 13
Agora, queremos a soma do primeiro termo da PA com o terceiro termo da PG:
Resposta
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