Considere uma curva parametrizada no espaço tridimensional. O plano osculador em um ponto da curva é definido como:
(Ref.: 202309490296)
O plano que contém o vetor normal e o vetor binormal à curva no ponto.
O plano que contém o vetor tangente e o vetor normal à curva no ponto.
O plano que contém a derivada primeira e a derivada segunda da curva no ponto.
O plano que contém o vetor tangente e o vetor osculador à curva no ponto.
O plano que contém o vetor tangente e o vetor binormal à curva no ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre curvas no espaço tridimensional e pede pra gente definir o plano osculador num ponto específico dessa curva. A matéria envolve conceitos de geometria diferencial, especialmente os vetores tangente, normal e binormal que definem a orientação da curva no espaço. Para resolver, vamos lembrar o que cada um desses vetores representa e como eles formam planos distintos na curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os vetores:
  • Vetor tangente ( T): indica a direção da curva naquele ponto.
  • Vetor normal ( N): aponta para a direção da curvatura da curva.
  • Vetor binormal ( B): é perpendicular tanto ao vetor tangente quanto ao normal, formando um sistema ortonormal.

Passo 3

O plano osculador é basicamente o plano que “agarra” a curva no ponto de interesse, seguindo sua direção e curvatura. Matematicamente, ele é definido pelo vetor tangente ( T) e o vetor normal ( N). Isso significa que o plano osculador é formado pela combinação linear desses dois vetores, ou seja, ele contém tanto a direção da curva quanto sua curvatura naquele ponto.

Passo 4

Vamos analisar as opções dadas:
  • Opção A: Vetor normal e binormal – não inclui o tangente.
  • Opção B: Vetor tangente e normal – exatamente o que definimos para o plano osculador.
  • Opção C: Derivadas primeira e segunda – essas derivadas estão relacionadas aos vetores tangente e normal, mas a definição mais direta é em termos dos vetores.
  • Opção D: Vetor tangente e osculador – o vetor osculador não é um termo padrão nesse contexto.
  • Opção E: Vetor tangente e binormal – isso define outro plano, chamado de plano de oscilação normal.

Resposta

A opção B está correta porque o plano osculador é o plano que contém o vetor tangente ( T) e o vetor normal ( N) à curva no ponto analisado.

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