Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas
e
;
-
, em que
-
, em que
-
, em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a área delimitada pelas curvas
e
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções e encontrar os pontos onde as curvas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das curvas que vamos trabalhar:
Para encontrar a área entre elas, precisamos saber de onde até onde vamos integrar, ou seja, quais são os valores de
onde as curvas se interceptam.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
e
.
Passo 5
Agora que sabemos que vamos integrar de
até
, precisamos identificar qual das duas curvas está por cima nesse intervalo. Observando as equações:
- Quando
, ambas dão . - Para
, vamos testar com : -
Como
está acima de
nesse intervalo, a área entre elas será a integral da diferença entre
e
.
Passo 6
Vamos montar a integral para calcular a área
:
Simplificando dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
- Para
: - Para
:
Passo 8
Substituindo os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Resposta
A área delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Quanto é
de 1000 ?
Quanto é
de 85 ?
Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: Exiba a integral que representa volume obtido pela rotação da região determinada no item
em torno da reta
. (Obs. Não precisa resolver a integral, apenas exibir.)
-
, em que -
, em que -
, em que
Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas
e
;
-
, em que -
, em que -
, em que