Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas e ;
  • , em que
  • , em que
  • , em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a área delimitada pelas curvas e . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções e encontrar os pontos onde as curvas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das curvas que vamos trabalhar:
Para encontrar a área entre elas, precisamos saber de onde até onde vamos integrar, ou seja, quais são os valores de onde as curvas se interceptam.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se interceptam nos pontos e .

Passo 5

Agora que sabemos que vamos integrar de até , precisamos identificar qual das duas curvas está por cima nesse intervalo. Observando as equações:
  • Quando , ambas dão .
  • Para , vamos testar com :
Como está acima de nesse intervalo, a área entre elas será a integral da diferença entre e .

Passo 6

Vamos montar a integral para calcular a área :
Simplificando dentro da integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 8

Substituindo os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

A área delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Quanto é de 1000 ?
Quanto é de 85 ?
Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: Exiba a integral que representa volume obtido pela rotação da região determinada no item em torno da reta . (Obs. Não precisa resolver a integral, apenas exibir.)
  • , em que
  • , em que
  • , em que
Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas e ;
  • , em que
  • , em que
  • , em que