Considere as curvas alpha, beta e gamma (Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas beta e gamma;
  • alpha: x = 5 y^(3/2) - 4 y, em que y ≥ 0
  • beta: y = x^(3/2), em que x >= 0
  • y = 5 x^(3/2) - 4 x, em que x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a área delimitada pelas curvas beta e gamma. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre cálculo de áreas entre curvas usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções e encontrar os pontos onde as curvas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das curvas que vamos trabalhar:
Para encontrar a área entre elas, precisamos saber de onde até onde vamos integrar, ou seja, quais são os valores de x onde as curvas se interceptam.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x.

Passo 4

Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
  1. x = 0
Então, as curvas se interceptam nos pontos x = 0 e x = 1.

Passo 5

Agora que sabemos que vamos integrar de x = 0 até x = 1, precisamos identificar qual das duas curvas está por cima nesse intervalo. Observando as equações:
  • Quando x = 0, ambas dão .
  • Para , vamos testar com :
Como beta está acima de gamma nesse intervalo, a área entre elas será a integral da diferença entre beta e gamma.

Passo 6

Vamos montar a integral para calcular a área A:
Simplificando dentro da integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 8

Substituindo os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:

Resposta

A área delimitada pelas curvas beta e gamma é 2/5 unidades quadradas.

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