Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: Exiba a integral que representa volume obtido pela rotação da região determinada no item
em torno da reta
. (Obs. Não precisa resolver a integral, apenas exibir.)
-
, em que
-
, em que
-
, em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a integral que representa o volume gerado pela rotação de uma certa região em torno da reta
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes por integração, especificamente usando o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das curvas que delimitam a região e como elas se comportam em relação à reta de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que formam a região que será rotacionada. Temos três curvas:
- Curva
: , com - Curva
: , com - Curva
: , com
Vamos precisar identificar onde essas curvas se intersectam para definir os limites de integração.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
:
Simplificando:
Fatorando:
Então
ou
.
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração de
a
. Para cada valor de
nesse intervalo, vamos calcular o raio externo e o raio interno em relação à reta de rotação
.
Passo 5
Como estamos rotacionando em torno de
, o raio externo
será a distância da reta
até a curva mais à esquerda, que é
. O raio interno
será a distância da reta
até a curva mais à direita, que é
.
Calculando as distâncias:
(Nota: Aqui,
representa a expressão adequada para a distância da curva
, dependendo das equações específicas.)
Passo 6
Utilizando o método dos discos, a integral que representa o volume
será dada por:
Onde:
-
é o raio externo -
é o raio interno
Resposta
A integral que representa o volume obtido pela rotação da região em torno da reta
é:
Exercícios relacionados
Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas
e
;
-
, em que -
, em que -
, em que
Quanto é
de 1000 ?
Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas
e
;
-
, em que -
, em que -
, em que
Determine a solução geral para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordern em
, com coeficientes reais, sabendo que
e
sāo duas soluçōes. ( 3,5 pontos)