Considere as curvas alpha, beta e gamma (Veja figura abaixo.) Determine: Exiba a integral que representa volume obtido pela rotação da região determinada no item c em torno da reta x = 1. (Obs. Não precisa resolver a integral, apenas exibir.)
  • alpha: x = 5 y^(3/2) - 4 y, em que y ≥ 0
  • beta: y = x^(3/2), em que x >= 0
  • y = 5 x^(3/2) - 4 x, em que x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a integral que representa o volume gerado pela rotação de uma certa região em torno da reta . A matéria envolvida aqui é o cálculo de volumes por integração, especificamente usando o método dos discos ou das cascas cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das curvas que delimitam a região e como elas se comportam em relação à reta de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas que formam a região que será rotacionada. Temos três curvas:
  • Curva : , com
  • Curva : , com
  • Curva : , com
Vamos precisar identificar onde essas curvas se intersectam para definir os limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e :
Simplificando:
Fatorando:
Então ou .
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração de a . Para cada valor de nesse intervalo, vamos calcular o raio externo e o raio interno em relação à reta de rotação .

Passo 5

Como estamos rotacionando em torno de , o raio externo será a distância da reta até a curva mais à esquerda, que é . O raio interno será a distância da reta até a curva mais à direita, que é .
Calculando as distâncias:
(Nota: Aqui, representa a expressão adequada para a distância da curva , dependendo das equações específicas.)

Passo 6

Utilizando o método dos discos, a integral que representa o volume será dada por:
Onde:
  • é o raio externo
  • é o raio interno

Resposta

A integral que representa o volume obtido pela rotação da região em torno da reta é:

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