Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas e ;
  • , em que
  • , em que
  • , em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre a determinação da área delimitada por duas curvas. Para isso, vamos precisar entender como as curvas se comportam e onde elas se encontram. Vamos usar integração para calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das curvas que temos:
  • Curva α: , onde
  • Curva β: , onde
Como queremos encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos descobrir onde elas se interceptam. Ou seja, vamos encontrar os valores de onde as duas equações são iguais.

Passo 3

Vamos substituir a equação da curva β na da curva α. Como , podemos expressar em termos de :
Agora, substituindo na equação da curva α:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção. Primeiro, vamos igualar tudo a zero:
Essa equação pode ser complicada de resolver analiticamente, mas percebemos que é uma solução. Vamos buscar outra solução positiva.

Passo 5

Vamos tentar encontrar numericamente outra solução para . Por tentativas, percebemos que para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo .
Para nesse intervalo:
  • Curva α:
  • Curva β:
Vamos comparar os valores de para um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
Como , a curva β está acima da curva α nesse intervalo.

Passo 7

Para calcular a área entre as curvas, usamos a integral da diferença das funções. Como expressamos em termos de , integraremos de a :
Á

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Á
Agora, integraremos termo a termo:
Á

Passo 9

Calculando a integral nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área delimitada pelas curvas α e β é unidades de área.

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Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: Exiba a integral que representa volume obtido pela rotação da região determinada no item em torno da reta . (Obs. Não precisa resolver a integral, apenas exibir.)
  • , em que
  • , em que
  • , em que
Considere as curvas e (Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas e ;
  • , em que
  • , em que
  • , em que
Determine a solução geral para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordern em , com coeficientes reais, sabendo que e sāo duas soluçōes. ( 3,5 pontos)
(Extra) Determine a solução do problema de valor inicial para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordem em , com coeficientes reais, sabendo que e são duas soluções. (2 pontos)