Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas
e
;
-
, em que
-
, em que
-
, em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que é da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre a determinação da área delimitada por duas curvas. Para isso, vamos precisar entender como as curvas se comportam e onde elas se encontram. Vamos usar integração para calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das curvas que temos:
- Curva α:
, onde - Curva β:
, onde
Como queremos encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos descobrir onde elas se interceptam. Ou seja, vamos encontrar os valores de
onde as duas equações são iguais.
Passo 3
Vamos substituir a equação da curva β na da curva α. Como
, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituindo na equação da curva α:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção. Primeiro, vamos igualar tudo a zero:
Essa equação pode ser complicada de resolver analiticamente, mas percebemos que
é uma solução. Vamos buscar outra solução positiva.
Passo 5
Vamos tentar encontrar numericamente outra solução para
. Por tentativas, percebemos que para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo
.
Para
nesse intervalo:
- Curva α:
- Curva β:
Vamos comparar os valores de
para um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
:
Como
, a curva β está acima da curva α nesse intervalo.
Passo 7
Para calcular a área entre as curvas, usamos a integral da diferença das funções. Como expressamos
em termos de
, integraremos de
a
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integraremos termo a termo:
Passo 9
Calculando a integral nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
A área delimitada pelas curvas α e β é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: Exiba a integral que representa volume obtido pela rotação da região determinada no item
em torno da reta
. (Obs. Não precisa resolver a integral, apenas exibir.)
-
, em que -
, em que -
, em que
Considere as curvas
e
(Veja figura abaixo.) Determine: a área delimitada pelas curvas
e
;
-
, em que -
, em que -
, em que
Determine a solução geral para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordern em
, com coeficientes reais, sabendo que
e
sāo duas soluçōes. ( 3,5 pontos)
(Extra) Determine a solução do problema de valor inicial
para uma equaçāo diferencial homogênea linear de terceira ordem em
, com coeficientes reais, sabendo que
e
são duas soluções. (2 pontos)