Considere um disco fino de raio R e massa m disco uniformemente distribuída sobre sua área. Derive uma expressão para a magnitude da força gravitacional que este disco exerce sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância y diretamente acima do centro do disco.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui! Temos um disco fino com raio e massa que está espalhada de forma uniforme pela sua área. Queremos descobrir qual é a força gravitacional que esse disco exerce sobre uma partícula de massa que está localizada a uma distância diretamente acima do centro do disco.
Aqui, estamos lidando com Gravitação Universal, especificamente com a interação gravitacional entre massas distribuídas de forma contínua. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para somar as contribuições de força de cada parte do disco sobre a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal de massa no disco. Como o disco é uniforme, a massa por unidade de área é constante e pode ser expressa por:
sigma = mdiscopi R^2
Onde é a densidade superficial de massa do disco.

Passo 3

Agora, imagine que dividimos o disco em anéis concêntricos com raio dm = sigma cdot 2pi r , dr e espessura . A massa de um anel infinitesimal pode ser encontrada multiplicando a densidade superficial pela área do anel:
Aqui, é a área de um anel de raio e espessura .

Passo 4

A força gravitacional dF = G m , dms^2 exercida por esse anel sobre a partícula de massa está localizada a uma distância acima do centro do disco pode ser encontrada usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Onde é a constante gravitacional e é a distância entre o elemento de massa e a partícula .

Passo 5

A distância s = raizr^2 + y^2 pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que formamos um triângulo retângulo com os lados e :

Passo 6

A força dFz = dF cdot ys = G m , dms^2 cdot ys = G m , dm , y(r^2 + y^2)^3/2 tem uma direção que abrange tanto o eixo do disco quanto radialmente. No entanto, devido à simetria, as componentes radiais se cancelam, e apenas a componente vertical contribui para a força total. Portanto, a força vertical é:

Passo 7

Agora, substituímos dFz = G m cdot sigma cdot 2pi r , dr cdot y(r^2 + y^2)^3/2 pela expressão encontrada no Passo 3:

Passo 8

Para encontrar a força total Fz = integral0^R G m cdot sigma cdot 2pi r , y(r^2 + y^2)^3/2 , dr , integramos de até :

Passo 9

Fatoramos as constantes fora da integral:
Fz = 2pi G m sigma y integral0^R r(r^2 + y^2)^3/2 , dr

Passo 10

Realizamos a substituição integral r(r^2 + y^2)^3/2 , dr = -1raizr^2 + y^2 + C , então [ -1raizR^2 + y^2 - ( -1raiz0 + y^2 ) ] = 1y - 1raizR^2 + y^2 . Isso simplifica a integral:
Aplicando os limites de integração:

Passo 11

Substituímos o resultado da integral de volta na expressão para Fz = 2pi G m sigma y ( 1y - 1raizR^2 + y^2 ) = 2pi G m sigma ( 1 - yraizR^2 + y^2 ) :

Passo 12

Lembrando que Fz = 2pi G m cdot mdiscopi R^2 ( 1 - yraizR^2 + y^2 ) = 2 G m mdiscoR^2 ( 1 - yraizR^2 + y^2 ) , substituímos para simplificar:

Resposta

A magnitude da força gravitacional exercida pelo disco sobre a partícula é:
F = 2 G m mdiscoR^2 ( 1 - yraizR^2 + y^2 )

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