Considere um disco fino de raio e massa uniformemente distribuída sobre sua área. Derive uma expressão para a magnitude da força gravitacional que este disco exerce sobre uma partícula de massa localizada a uma distância diretamente acima do centro do disco.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui! Temos um disco fino com raio e massa que está espalhada de forma uniforme pela sua área. Queremos descobrir qual é a força gravitacional que esse disco exerce sobre uma partícula de massa que está localizada a uma distância diretamente acima do centro do disco.
Aqui, estamos lidando com Gravitação Universal, especificamente com a interação gravitacional entre massas distribuídas de forma contínua. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para somar as contribuições de força de cada parte do disco sobre a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal de massa no disco. Como o disco é uniforme, a massa por unidade de área é constante e pode ser expressa por:
Onde é a densidade superficial de massa do disco.

Passo 3

Agora, imagine que dividimos o disco em anéis concêntricos com raio e espessura . A massa de um anel infinitesimal pode ser encontrada multiplicando a densidade superficial pela área do anel:
Aqui, é a área de um anel de raio e espessura .

Passo 4

A força gravitacional exercida por esse anel sobre a partícula de massa está localizada a uma distância acima do centro do disco pode ser encontrada usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Onde é a constante gravitacional e é a distância entre o elemento de massa e a partícula .

Passo 5

A distância pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que formamos um triângulo retângulo com os lados e :

Passo 6

A força tem uma direção que abrange tanto o eixo do disco quanto radialmente. No entanto, devido à simetria, as componentes radiais se cancelam, e apenas a componente vertical contribui para a força total. Portanto, a força vertical é:

Passo 7

Agora, substituímos pela expressão encontrada no Passo 3:

Passo 8

Para encontrar a força total , integramos de até :

Passo 9

Fatoramos as constantes fora da integral:

Passo 10

Realizamos a substituição , então . Isso simplifica a integral:
Aplicando os limites de integração:

Passo 11

Substituímos o resultado da integral de volta na expressão para :

Passo 12

Lembrando que , substituímos para simplificar:

Resposta

A magnitude da força gravitacional exercida pelo disco sobre a partícula é:

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Qual dos valores de carga , indicados abaixo, provavelmente não poderia ter sido medido por Millikan?
(a)
(b)
©
(d)
Derive uma expressão para a energia potencial gravitacional de um sistema que consiste na Terra e um tijolo de massa colocado no centro da Terra. Assuma que a energia potencial do sistema com o tijolo colocado no infinito é zero.
No experimento de Millikan, sobre a gotícula de óleo carregada atua :
(a) Somente a força gravitacional.
(b) Forças gravitacional, viscosa e elétrica.
© A força gravitacional e a força viscosa.
(d) Força magnética e força elétrica.
N: Um estudante de física decide se infiltrar na Sociedade da Terra Plana, que acredita que a Terra é um disco plano de raio até o horizonte visto do topo do edifício mais alto da cidade. Ele decide calcular a aceleração devido à gravidade na superfície de tal Terra usando a massa conhecida da Terra e o conhecimento de que o edifício mais alto da cidade tem 50 m de altura. Que valor ele obteve para ? É diferente o suficiente do valor conhecido para convencer integrantes razoáveis a desertar?