Considere um disco fino de raio
e massa
uniformemente distribuída sobre sua área. Derive uma expressão para a magnitude da força gravitacional que este disco exerce sobre uma partícula de massa
localizada a uma distância
diretamente acima do centro do disco.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que precisa ser feito aqui! Temos um disco fino com raio
e massa
que está espalhada de forma uniforme pela sua área. Queremos descobrir qual é a força gravitacional que esse disco exerce sobre uma partícula de massa
que está localizada a uma distância
diretamente acima do centro do disco.
Aqui, estamos lidando com Gravitação Universal, especificamente com a interação gravitacional entre massas distribuídas de forma contínua. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração para somar as contribuições de força de cada parte do disco sobre a partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um elemento infinitesimal de massa no disco. Como o disco é uniforme, a massa por unidade de área é constante e pode ser expressa por:
Onde
é a densidade superficial de massa do disco.
Passo 3
Agora, imagine que dividimos o disco em anéis concêntricos com raio
e espessura
. A massa de um anel infinitesimal pode ser encontrada multiplicando a densidade superficial pela área do anel:
Aqui,
é a área de um anel de raio
e espessura
.
Passo 4
A força gravitacional
exercida por esse anel sobre a partícula de massa
está localizada a uma distância
acima do centro do disco pode ser encontrada usando a Lei da Gravitação Universal de Newton:
Onde
é a constante gravitacional e
é a distância entre o elemento de massa
e a partícula
.
Passo 5
A distância
pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras, já que formamos um triângulo retângulo com os lados
e
:
Passo 6
A força
tem uma direção que abrange tanto o eixo do disco quanto radialmente. No entanto, devido à simetria, as componentes radiais se cancelam, e apenas a componente vertical contribui para a força total. Portanto, a força vertical é:
Passo 7
Agora, substituímos
pela expressão encontrada no Passo 3:
Passo 8
Para encontrar a força total
, integramos
de
até
:
Passo 9
Fatoramos as constantes fora da integral:
Passo 10
Realizamos a substituição
, então
. Isso simplifica a integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 11
Substituímos o resultado da integral de volta na expressão para
:
Passo 12
Lembrando que
, substituímos para simplificar:
Resposta
A magnitude da força gravitacional exercida pelo disco sobre a partícula é:
Exercícios relacionados
Qual dos valores de carga
, indicados abaixo, provavelmente não poderia ter sido medido por Millikan?
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Derive uma expressão para a energia potencial gravitacional de um sistema que consiste na Terra e um tijolo de massa
colocado no centro da Terra. Assuma que a energia potencial do sistema com o tijolo colocado no infinito é zero.
No experimento de Millikan, sobre a gotícula de óleo carregada atua
:
(a) Somente a força gravitacional.
(b) Forças gravitacional, viscosa e elétrica.
© A força gravitacional e a força viscosa.
(d) Força magnética e força elétrica.
(a) Somente a força gravitacional.
(b) Forças gravitacional, viscosa e elétrica.
© A força gravitacional e a força viscosa.
(d) Força magnética e força elétrica.
N: Um estudante de física decide se infiltrar na Sociedade da Terra Plana, que acredita que a Terra é um disco plano de raio até o horizonte visto do topo do edifício mais alto da cidade. Ele decide calcular a aceleração devido à gravidade na superfície de tal Terra usando a massa conhecida da Terra e o conhecimento de que o edifício mais alto da cidade tem 50 m de altura. Que valor ele obteve para
? É diferente o suficiente do valor conhecido para convencer integrantes razoáveis a desertar?