Derive uma expressão para a energia potencial gravitacional de um sistema que consiste na Terra e um tijolo de massa m colocado no centro da Terra. Assuma que a energia potencial do sistema com o tijolo colocado no infinito é zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar uma expressão para a energia potencial gravitacional de um sistema formado pela Terra e um tijolo de massa colocado no centro da Terra. A gente vai usar conceitos de energia potencial gravitacional e as leis da gravitação para resolver isso. Precisamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional, especialmente dentro de um corpo esférico como a Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ( U = -G M mr ) entre duas massas é a energia associada à posição dessas massas no campo gravitacional uma da outra. A fórmula geral para a energia potencial gravitacional entre duas massas (Terra) e (tijolo) separadas por uma distância é:
onde é a constante da gravitação universal.

Passo 3

No entanto, essa fórmula vale quando é maior ou igual ao raio da Terra ( ). Quando o tijolo está dentro da Terra, ou seja, quando , a situação muda porque a massa que contribui para o campo gravitacional é apenas a massa que está na distância menor que .

Passo 4

Para U = -G M m2 R^3 (3R^2 - r^2) , a energia potencial gravitacional é diferente. A fórmula para a energia potencial dentro de uma esfera de massa uniforme é:
U = -3 G M m2 R
Isso leva em conta que, no centro da Terra ( ), a energia potencial é:

Passo 5

No nosso caso, o tijolo está exatamente no centro da Terra, então U = -3 G M m2 R . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 6

Portanto, a energia potencial gravitacional do sistema quando o tijolo está no centro da Terra é:
U = -3 G M m2 R

Resposta

A energia potencial gravitacional do sistema quando o tijolo está no centro da Terra é dado por:
U = -3 G M m2 R

Exercícios relacionados