Derive uma expressão para a energia potencial gravitacional de um sistema que consiste na Terra e um tijolo de massa
colocado no centro da Terra. Assuma que a energia potencial do sistema com o tijolo colocado no infinito é zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente derivar uma expressão para a energia potencial gravitacional de um sistema formado pela Terra e um tijolo de massa
colocado no centro da Terra. A gente vai usar conceitos de energia potencial gravitacional e as leis da gravitação para resolver isso. Precisamos lembrar como calcular a energia potencial gravitacional, especialmente dentro de um corpo esférico como a Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional (
) entre duas massas é a energia associada à posição dessas massas no campo gravitacional uma da outra. A fórmula geral para a energia potencial gravitacional entre duas massas
(Terra) e
(tijolo) separadas por uma distância
é:
onde
é a constante da gravitação universal.
Passo 3
No entanto, essa fórmula vale quando
é maior ou igual ao raio da Terra (
). Quando o tijolo está dentro da Terra, ou seja, quando
, a situação muda porque a massa que contribui para o campo gravitacional é apenas a massa que está na distância menor que
.
Passo 4
Para
, a energia potencial gravitacional é diferente. A fórmula para a energia potencial dentro de uma esfera de massa uniforme é:
Isso leva em conta que, no centro da Terra (
), a energia potencial é:
Passo 5
No nosso caso, o tijolo está exatamente no centro da Terra, então
. Substituindo
na fórmula, temos:
Passo 6
Portanto, a energia potencial gravitacional do sistema quando o tijolo está no centro da Terra é:
Resposta
A energia potencial gravitacional do sistema quando o tijolo está no centro da Terra é dado por: