Considere um disco sólido de raio R e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é I=a m R^2, onde a é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a v0 e sua velocidade angular omega0=0. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito f com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
e) vc m=raiz1+a v0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco sólido com raio R e distribuição de massa não uniforme, com momento de inércia I = a m R^2. Inicialmente, o disco está deslizando sem rolar em um plano horizontal sem atrito, com a velocidade do centro de massa sendo v0 e a velocidade angular omega0 = 0. Depois, uma força de atrito f aparece, fazendo com que o disco comece a rolar e eventualmente role sem deslizar. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade do centro de massa ( vcm) quando o disco começa a rolar sem deslizar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de rotação e translacional, especialmente as relações entre torque, momento de inércia, e as condições para rolar sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “rolar sem deslizar”. Isso acontece quando a velocidade do ponto de contato com o chão é zero. Matematicamente, isso é expresso como:
vcm = omega R
Onde:
  • vcm é a velocidade do centro de massa.
  • omega é a velocidade angular.
  • R é o raio do disco.
Isso nos dá uma relação entre a velocidade linear e a angular quando o disco está rolando sem deslizar.

Passo 3

Inicialmente, o disco está deslizando sem rolar. A força de atrito f atua no sentido oposto ao movimento, causando uma aceleração deceleratória no centro de massa e uma aceleração angular que faz o disco começar a girar.
Vamos usar as leis de Newton para a translacional e rotacional:
Para a translacional:
f = m a
Onde:
  • m é a massa do disco.
  • a é a aceleração do centro de massa.
Para a rotacional:
f R = I alpha
Onde:
  • alpha é a aceleração angular.
  • I é o momento de inércia ( I = a m R^2).

Passo 4

Sabemos que a aceleração angular alpha está relacionada à aceleração linear a pela condição de rolar sem deslizar:
a = alpha R
Substituindo isso na equação rotacional:
f R = I ( aR )
Substituindo I = a m R^2:
f R = a m R^2 ( aR ) = a m R a
Simplificando:
f = a m a
Então:
f = a m a

Passo 5

Agora, vamos relacionar as duas equações que temos para f:
f = m a (translacional)
f = a m a (rotacional)
Igualando as duas expressões para f:
m a = a m a
Simplificando, podemos dividir ambos os lados por m (assumindo m neq 0):
a = a a
Isso implica:
a = a^2
Rearranjando:
a^2 - a = 0
Fatorando:
a(a - 1) = 0
Então, as soluções são a = 0 ou a = 1. Como a = 0 não faz sentido no nosso contexto, temos a = 1.

Passo 6

Agora que encontramos a = 1, podemos usar a relação entre vcm e v0.
Sabemos que a velocidade do centro de massa diminui devido à força de atrito. A mudança na velocidade pode ser relacionada pela aceleração:
vcm = v0 + a t
Como a = 1 e o disco começa a rolar sem deslizar quando vcm = omega R, substituindo a = 1 na equação, temos:
vcm = raiz1 + a , v0 = raiz1 + a , v0

Resposta

A velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar é:
vcm = raiz1 + a , v0

Exercícios relacionados

Considere um disco sólido de raio R e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é I=a m R^2, onde a é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a v0 e sua velocidade angular omega0=0. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito f com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
c) vc m=v0a
Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
e) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k r^2
Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
b) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r cos theta-s)^2
Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
d) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2+12 k(r-s)^2