Considere um disco sólido de raio
e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é
, onde
é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a
e sua velocidade angular
. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito
com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
e)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco sólido com raio
e distribuição de massa não uniforme, com momento de inércia
. Inicialmente, o disco está deslizando sem rolar em um plano horizontal sem atrito, com a velocidade do centro de massa sendo
e a velocidade angular
. Depois, uma força de atrito
aparece, fazendo com que o disco comece a rolar e eventualmente role sem deslizar. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade do centro de massa (
) quando o disco começa a rolar sem deslizar.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de rotação e translacional, especialmente as relações entre torque, momento de inércia, e as condições para rolar sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “rolar sem deslizar”. Isso acontece quando a velocidade do ponto de contato com o chão é zero. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde:
-
é a velocidade do centro de massa. -
é a velocidade angular. -
é o raio do disco.
Isso nos dá uma relação entre a velocidade linear e a angular quando o disco está rolando sem deslizar.
Passo 3
Inicialmente, o disco está deslizando sem rolar. A força de atrito
atua no sentido oposto ao movimento, causando uma aceleração deceleratória no centro de massa e uma aceleração angular que faz o disco começar a girar.
Vamos usar as leis de Newton para a translacional e rotacional:
Para a translacional:
Onde:
-
é a massa do disco. -
é a aceleração do centro de massa.
Para a rotacional:
Onde:
-
é a aceleração angular. -
é o momento de inércia ( ).
Passo 4
Sabemos que a aceleração angular
está relacionada à aceleração linear
pela condição de rolar sem deslizar:
Substituindo isso na equação rotacional:
Substituindo
:
Simplificando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos relacionar as duas equações que temos para
:
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando, podemos dividir ambos os lados por
(assumindo
):
Isso implica:
Rearranjando:
Fatorando:
Então, as soluções são
ou
. Como
não faz sentido no nosso contexto, temos
.
Passo 6
Agora que encontramos
, podemos usar a relação entre
e
.
Sabemos que a velocidade do centro de massa diminui devido à força de atrito. A mudança na velocidade pode ser relacionada pela aceleração:
Como
e o disco começa a rolar sem deslizar quando
, substituindo
na equação, temos:
Resposta
A velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar é:
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Considere um disco sólido de raio
e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é
, onde
é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a
e sua velocidade angular
. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito
com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
c)
c)
Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
e)
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Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
b)
b)
Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
d)
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