Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
e)
e)
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre uma mola com constante elástica $ k $ ligada a uma massa $ m $ em um plano horizontal, usando coordenadas polares ($ r $ e $ \theta $). O comprimento natural da mola é $ s $. Nosso objetivo é encontrar a função Lagrangiana desse sistema. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética e a energia potencial no sistema usando coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função Lagrangiana $ L $ é dada pela diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
Então, precisamos calcular $ T $ e $ V $ para o sistema.
Passo 3
Energia Cinética ($ T $)
Em coordenadas polares, a velocidade de uma partícula tem duas componentes: radial ($ \dot{r}
r\dot{\theta} $). A energia cinética total é a soma das energias dessas duas componentes:
Aqui, $ \dot{r} $ é a velocidade na direção radial e $ \dot{\theta} $ é a taxa de variação do ângulo.
Passo 4
Energia Potencial ($ V $)
A energia potencial neste sistema vem da mola. A mola tem comprimento natural $ s $, mas se estica ou comprime, a energia potencial é:
No entanto, como o sistema está no plano horizontal e não há outras forças, podemos simplificar considerando apenas a energia da mola em função de $ r $:
Assumindo que $ s = 0 $ para simplificar ou que $ r $ já representa a deformação em relação ao comprimento natural.
Passo 5
Construindo a Lagrangiana ($ L $)
Agora que temos $ T $ e $ V $, substituímos na fórmula da Lagrangiana:
Simplificando, fica:
Resposta
A função Lagrangiana do sistema é:
Portanto, a opção e) está correta.
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Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
c)
c)
Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
a)
a)
Considere um disco sólido de raio
e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é
, onde
é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a
e sua velocidade angular
. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito
com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
c)
c)
Considere um disco sólido de raio
e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é
, onde
é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a
e sua velocidade angular
. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito
com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
e)
e)