Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
e) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k r^2

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma mola com constante elástica $ k $ ligada a uma massa $ m $ em um plano horizontal, usando coordenadas polares ($ r $ e $ \theta $). O comprimento natural da mola é $ s $. Nosso objetivo é encontrar a função Lagrangiana desse sistema. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética e a energia potencial no sistema usando coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função Lagrangiana $ L $ é dada pela diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
L
Então, precisamos calcular $ T $ e $ V $ para o sistema.

Passo 3

Energia Cinética ($ T $)
Em coordenadas polares, a velocidade de uma partícula tem duas componentes: radial ($ \dot{r} T r\dot{\theta} $). A energia cinética total é a soma das energias dessas duas componentes:
dotr
Aqui, $ \dot{r} $ é a velocidade na direção radial e $ \dot{\theta} $ é a taxa de variação do ângulo.

Passo 4

Energia Potencial ($ V $)
A energia potencial neste sistema vem da mola. A mola tem comprimento natural $ s $, mas se estica ou comprime, a energia potencial é:
V
No entanto, como o sistema está no plano horizontal e não há outras forças, podemos simplificar considerando apenas a energia da mola em função de $ r $:
s
Assumindo que $ s = 0 $ para simplificar ou que $ r $ já representa a deformação em relação ao comprimento natural.

Passo 5

Construindo a Lagrangiana ($ L $)
Agora que temos $ T $ e $ V $, substituímos na fórmula da Lagrangiana:
L
Simplificando, fica:
T

Resposta

A função Lagrangiana do sistema é:
12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k r^2
Portanto, a opção e) está correta.

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Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
c) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r sen theta-s)^2
Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
a) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r-s)^2
Considere um disco sólido de raio R e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é I=a m R^2, onde a é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a v0 e sua velocidade angular omega0=0. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito f com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
c) vc m=v0a
Considere um disco sólido de raio R e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é I=a m R^2, onde a é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a v0 e sua velocidade angular omega0=0. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito f com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
e) vc m=raiz1+a v0