Considere um disco sólido de raio R e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é I=a m R^2, onde a é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a v0 e sua velocidade angular omega0=0. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito f com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
c) vc m=v0a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um disco que está deslizando sobre um plano horizontal sem atrito inicialmente, com uma velocidade inicial $ v_0 $ e sem rotação ($ \omega_0 = 0 $). A gente precisa descobrir qual será a velocidade do centro de massa do disco quando ele começar a rolar sem deslizar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente relacionados ao momento de inércia e à força de atrito que começa a fazer o disco girar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o disco começa a rolar. Inicialmente, ele está só deslizando com velocidade $ v_0 $ e sem girar. Quando a força de atrito $ f $ entra em ação, ela começa a diminuir a velocidade linear do centro de massa e, ao mesmo tempo, provoca um torque que faz o disco começar a girar. Precisamos encontrar o ponto em que a velocidade linear e a velocidade angular estão relacionadas de forma que o disco role sem deslizar.

Passo 3

Sabemos que, para o disco rolar sem deslizar, a velocidade do centro de massa $ v_{cm} $ está relacionada à velocidade angular $ \omega $ pela equação:
vcm
Além disso, o torque causado pela força de atrito $ f $ é dado por:
omega
onde $ I $ é o momento de inércia e $ \alpha $ é a aceleração angular. Como $ I = a m R^2 $, podemos substituir:
vcm = omega R
Também sabemos que a aceleração linear $ a $ e a aceleração angular $ \alpha $ estão relacionadas por:
f
Substituindo $ \alpha $ na equação do torque:
tau = f R = I alpha
Simplificando:
I
alpha

Passo 4

A força de atrito também está relacionada à variação da velocidade linear:
f = m cdot De
Como a velocidade final é $ v_{cm} $ e a inicial é $ v_0 $:
vcm
Mas, para simplificar, podemos relacionar diretamente as energias ou usar a relação das velocidades. Após os cálculos, chegamos à relação:
v0

Resposta

A velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar é:
vcm = v0a

Exercícios relacionados

Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
e) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k r^2
Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
c) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r sen theta-s)^2
Considere um disco sólido de raio R e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é I=a m R^2, onde a é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a v0 e sua velocidade angular omega0=0. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito f com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
e) vc m=raiz1+a v0
Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
b) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r cos theta-s)^2