Considere um disco sólido de raio
e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é
, onde
é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a
e sua velocidade angular
. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito
com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um disco que está deslizando sobre um plano horizontal sem atrito inicialmente, com uma velocidade inicial $ v_0 $ e sem rotação ($ \omega_0 = 0 $). A gente precisa descobrir qual será a velocidade do centro de massa do disco quando ele começar a rolar sem deslizar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, especificamente relacionados ao momento de inércia e à força de atrito que começa a fazer o disco girar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando o disco começa a rolar. Inicialmente, ele está só deslizando com velocidade $ v_0 $ e sem girar. Quando a força de atrito $ f $ entra em ação, ela começa a diminuir a velocidade linear do centro de massa e, ao mesmo tempo, provoca um torque que faz o disco começar a girar. Precisamos encontrar o ponto em que a velocidade linear e a velocidade angular estão relacionadas de forma que o disco role sem deslizar.
Passo 3
Sabemos que, para o disco rolar sem deslizar, a velocidade do centro de massa $ v_{cm} $ está relacionada à velocidade angular $ \omega $ pela equação:
Além disso, o torque causado pela força de atrito $ f $ é dado por:
onde $ I $ é o momento de inércia e $ \alpha $ é a aceleração angular. Como $ I = a m R^2 $, podemos substituir:
Também sabemos que a aceleração linear $ a $ e a aceleração angular $ \alpha $ estão relacionadas por:
Substituindo $ \alpha $ na equação do torque:
Simplificando:
Passo 4
A força de atrito também está relacionada à variação da velocidade linear:
Como a velocidade final é $ v_{cm} $ e a inicial é $ v_0 $:
Mas, para simplificar, podemos relacionar diretamente as energias ou usar a relação das velocidades. Após os cálculos, chegamos à relação:
Resposta
A velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar é:
Exercícios relacionados
Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
e)
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Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
c)
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Considere um disco sólido de raio
e distribuição de massa não uniforme, tal que o momento de inércia do disco é
, onde
é uma constante. O disco inicialmente desliza, sem rolar, em um plano horizontal inicialmente sem atrito, tal que a velocidade inicial do centro de massa é constante e igual a
e sua velocidade angular
. À medida que o disco avança, a partir de um certo ponto, uma força de atrito
com o chão passa a fazer com que ele comece a rolar e eventualmente o disco passa a rolar sem deslizar. Qual é a velocidade do centro de massa quando o disco começa a rolar sem deslizar?
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Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
b)
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