Considere dois carros P1 e P2 viajando segundo as trajetórias: α1(t) = (1 + t, 2 + 3t) e alpha2(t) = (1 - t, 3 + t^2), t > 0. Os carros colidem? Em quais pontos as trajetórias se cruzam?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois carros, e , que estão se movendo ao longo de trajetórias definidas por funções vetoriais no plano. A gente precisa descobrir se esses carros vão colidir em algum momento e também identificar os pontos onde as trajetórias deles se cruzam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento vetorial, equações paramétricas e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as trajetórias dos dois carros:
  • O carro tem a trajetória definida por .
  • O carro tem a trajetória definida por .
Aqui, representa o tempo, e queremos saber para quais valores de as posições dos carros serão iguais, ou seja, se existe um tempo onde .

Passo 3

Vamos igualar as componentes das duas funções vetoriais:
Primeiro, resolvemos a primeira equação:

Passo 4

Agora, vamos verificar se satisfaz a segunda equação:
Isso não é verdade. Portanto, não existe um tempo onde ambas as posições dos carros são iguais simultaneamente. Isso significa que os carros não colidem.

Passo 5

Mesmo sem colisão, podemos verificar se as trajetórias dos carros se cruzam em algum ponto no plano. Para isso, precisamos encontrar se existe um ponto que pertence a ambas as trajetórias, independentemente dos tempos serem iguais.
Vamos igualar as componentes e das duas trajetórias:
Aqui, estamos usando como um parâmetro separado para a trajetória de . Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá dois valores de . Agora, substituímos de volta para encontrar :
Com esses valores, podemos encontrar os pontos de interseção substituindo ou em uma das trajetórias.

Resposta

Os carros e não colidem, pois não existe um tempo em que as posições deles coincidem simultaneamente. Contudo, as trajetórias dos carros se cruzam nos pontos:
Esses são os pontos onde as trajetórias e se intersectam no plano.

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