Considere dois carros
e
viajando segundo as trajetórias:
e
. Os carros colidem? Em quais pontos as trajetórias se cruzam?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois carros,
e
, que estão se movendo ao longo de trajetórias definidas por funções vetoriais no plano. A gente precisa descobrir se esses carros vão colidir em algum momento e também identificar os pontos onde as trajetórias deles se cruzam. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento vetorial, equações paramétricas e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as trajetórias dos dois carros:
- O carro
tem a trajetória definida por . - O carro
tem a trajetória definida por .
Aqui,
representa o tempo, e queremos saber para quais valores de
as posições dos carros serão iguais, ou seja, se existe um tempo
onde
.
Passo 3
Vamos igualar as componentes das duas funções vetoriais:
Primeiro, resolvemos a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
satisfaz a segunda equação:
Isso não é verdade. Portanto, não existe um tempo
onde ambas as posições dos carros são iguais simultaneamente. Isso significa que os carros não colidem.
Passo 5
Mesmo sem colisão, podemos verificar se as trajetórias dos carros se cruzam em algum ponto no plano. Para isso, precisamos encontrar se existe um ponto
que pertence a ambas as trajetórias, independentemente dos tempos serem iguais.
Vamos igualar as componentes
e
das duas trajetórias:
Aqui, estamos usando
como um parâmetro separado para a trajetória de
. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá dois valores de
. Agora, substituímos de volta para encontrar
:
Com esses valores, podemos encontrar os pontos de interseção substituindo
ou
em uma das trajetórias.
Resposta
Os carros
e
não colidem, pois não existe um tempo
em que as posições deles coincidem simultaneamente. Contudo, as trajetórias dos carros se cruzam nos pontos:
Esses são os pontos onde as trajetórias
e
se intersectam no plano.