Determine o domínio de cada função. alpha(t) = (cos(pi t / 4), ln(3 - t), raiz(t - 1)).

Passo 1

Vamos lá! Temos que determinar o domínio da função vetorial alpha(t) = (cos(pi t / 4), ln(3 - t), raiz(t - 1)). Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de t cada componente dessa função está bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: . A função cosseno é definida para todos os números reais. Então, não há restrição para t nessa parte.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: . A função logaritmo natural, , está definida apenas quando o argumento x é positivo. Portanto, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Então, para que o logaritmo esteja definido, t deve ser menor que 3.

Passo 4

Por fim, analisamos a terceira componente: . A função raiz quadrada, raiz(x), está definida apenas quando o argumento x é maior ou igual a zero. Logo, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Portanto, para que a raiz quadrada esteja definida, t deve ser maior ou igual a 1.

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
  1. (do logaritmo)
  2. (da raiz quadrada)
Para que todas as componentes estejam definidas simultaneamente, t precisa satisfazer ambas as condições. Então, combinando as inequações:

Resposta

O domínio da função alpha(t) é o conjunto de todos os números reais t tais que . Em notação de intervalo:

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