Seja C a curva definida por α(t) = (cos(t), sen(t), 1 - 2 sen(t)), 0 <= t <= 2 pi. (a) Determine alpha'(t).

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver o exercício juntos. O enunciado nos apresenta uma curva definida por uma função vetorial no intervalo . O objetivo é encontrar a derivada dessa função vetorial, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das componentes da função em relação à variável . No nosso caso, tem três componentes: , e .

Passo 3

Vamos derivar cada componente separadamente:
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de em relação a é .
  3. A derivada de em relação a é (já que a derivada de é e usamos a regra da cadeia para ).

Resposta

Assim, a derivada da função vetorial é:

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