Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais
, onde
são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
d)
d)
Passo 1
Então, temos um exercício sobre dois elétrons confinados em um ponto quântico esférico. As funções de onda são dadas por
, onde
são os Harmônicos Esféricos. A gente precisa verificar se a função de onda apresentada na alternativa d) é válida para esse sistema. Para isso, vamos precisar entender como as funções de onda dos elétrons e os estados de spin se combinam respeitando o princípio de exclusão de Pauli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que elétrons são férmions, ou seja, eles obedecem ao princípio de exclusão de Pauli. Isso significa que a função de onda total do sistema deve ser antissimétrica em relação à troca dos dois elétrons. A função de onda total é o produto da parte espacial pela parte de spin.
Passo 3
Na alternativa d), a parte espacial é dada por:
Observamos que os dois elétrons estão no mesmo estado espacial, ou seja, têm os mesmos números quânticos radiais e angulares. Isso significa que a parte espacial é simétrica em relação à troca dos elétrons.
Passo 4
Agora, olhemos para a parte de spin:
Essa combinação é simétrica em relação à troca dos spins dos elétrons. Ou seja, se trocarmos os elétrons, a parte de spin não muda.
Passo 5
Para que a função de onda total seja antissimétrica, se a parte espacial é simétrica, a parte de spin precisa ser antissimétrica, e vice-versa. No caso da alternativa d), ambas as partes, espacial e de spin, são simétricas. Isso significa que a função de onda total também é simétrica, o que viola o princípio de exclusão de Pauli para férmions.
Passo 6
Portanto, a função de onda apresentada na alternativa d) não é válida para um sistema de dois elétrons, pois não satisfaz a condição de antissimetria exigida para férmions.
Resposta
A alternativa d) apresenta uma função de onda inválida para o sistema de dois elétrons, pois não respeita a antissimetria necessária pelo princípio de exclusão de Pauli.
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, onde
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