Considere um elétron no estado fundamental
de um poço quadrado infinito unidimensional de largura L ao longo do eixo
. Uma luz monocromática de frequência
, descrita pelo potencial
, onde
é a intensidade do campo elétrico associado à luz, incide sobre este elétron. Neste caso, é correto afirmar que
b) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para o primeiro estado excitado,
, se
b) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para o primeiro estado excitado,
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma questão sobre um elétron no estado fundamental dentro de um poço quântico infinito unidimensional. A gente vai usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre os níveis de energia do elétron e como ele pode absorver energia de uma luz para mudar de estado. Vamos precisar lembrar das fórmulas dos níveis de energia e entender como a interação com a luz pode fazer o elétron pular para um estado excitado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são os níveis de energia de um elétron em um poço quântico infinito unidimensional. A fórmula para a energia dos estados é dada por:
Onde:
- $ E_n $ é a energia do estado $ n $
- $ n $ é o número quântico (1, 2, 3, …)
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida
- $ m $ é a massa do elétron
- $ L $ é a largura do poço quântico
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença de energia entre o estado excitado $ n=2 $ e o estado fundamental $ n=1 $. Essa diferença é o quanto o elétron precisa absorver de energia para pular do estado 1 para o 2.
Usando a fórmula dos níveis de energia:
Para $ n=1 $:
Para $ n=2 $:
Diferença de energia ($ \Delta E $):
Passo 4
A próxima coisa que precisamos entender é como a luz interage com o elétron. A luz que incide sobre o elétron tem uma frequência $ \omega $ e está descrita pelo potencial:
Aqui, $ F $ é a intensidade do campo elétrico, $ e $ é a carga do elétron, e $ x $ é a posição.
Para que o elétron absorva energia dessa luz e faça a transição do estado $ n=1 $ para $ n=2 $, a energia da luz $ \hbar \omega $ deve ser igual à diferença de energia $ \Delta E $ que calculamos.
Passo 5
Vamos igualar a energia da luz à diferença de energia necessária para a transição:
Isso significa que, para que a absorção ocorra, a frequência $ \omega $ da luz deve satisfazer essa relação.
Passo 6
Portanto, se a condição $ \hbar \omega = \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} $ for satisfeita, o elétron terá exatamente a energia necessária para absorver a luz e pular do estado $ n=1 $ para $ n=2 $.
Resposta
Sim, o elétron pode absorver energia desta luz e ir para o primeiro estado excitado $ n=2 $ se $ \hbar \omega = \frac{3 \pi^{2} \hbar^{2}}{2 m L^{2}} $.
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