Uma distribuição não-uniforme de carga esfericamente simétrica produz um campo elétrico que varia ao longo do eixo radial como
, com um sentido que aponta para fora do centro da esfera. Assinale a alternativa que contém a função que descreve a distribuição radial dessas cargas e o sinal das cargas.
b)
, positivo
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma distribuição de carga que não é uniforme e é simétrica em forma de esfera. O campo elétrico dessa distribuição varia com o raio $ r $ conforme a relação $ E = \alpha r^5 $, e aponta para fora do centro da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar a função que descreve como as cargas estão distribuídas radialmente, ou seja, $ \rho® $, e também determinar o sinal dessas cargas. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental na eletrostática para relacionar campos elétricos e cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz a Lei de Gauss. Ela afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada nessa superfície dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $. Matemáticamente, isso é expresso por:
Como a distribuição de carga é simétrica esfericamente, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio $ r $.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ tem a mesma magnitude em toda a superfície e é perpendicular a ela. Então, o fluxo fica:
Segundo a Lei de Gauss, isso é igual a $ \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} $. Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar a carga total encerrada $ Q_{enc} $ com a densidade de carga $ \rho® $. A carga total dentro de uma esfera de raio $ r $ é a integral da densidade de carga sobre o volume dessa esfera:
Substituindo isso na equação da Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando os $ 4\pi $:
Passo 5
Agora, queremos encontrar $ \rho® $ em termos de $ E® $. Para isso, vamos derivar ambos os lados em relação a $ r $:
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
Passo 6
Sabemos que $ E® = \alpha r^5 $. Vamos calcular $ \frac{dE}{dr} $:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando os termos:
Agora, isolando $ \rho® $:
Passo 7
Finalmente, observamos que a densidade de carga $ \rho® $ é proporcional a $ r^4 $ e multiplicada por $ 7\alpha \varepsilon_0 $. Como $ \alpha $ e $ \varepsilon_0 $ são constantes positivas, a densidade de carga também é positiva em toda a distribuição.
Resposta
A distribuição radial das cargas é dada por $ \rho® = 7\alpha \varepsilon_0 r^4 $ e as cargas são positivas. Portanto, a alternativa b) $ \rho = 6\alpha \varepsilon_0 r^6 $, positivo, não está correta.
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b)
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d)
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c)
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d)
d)