Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais Rn(r) Yl^m(theta, phi), onde Yl^m(theta, phi) são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
a) psi(r1, r2)=A[R5(r1) Y4^5(theta1, phi1) R4(r2) Y4^5(theta2, phi2)+R5(r2) Y4^5(theta2, phi2) R4(r1) Y4^5(theta1, phi1)](|uparrow downarrowrang<=-|downarrow uparrowrang<=)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois elétrons confinados em um ponto quântico esférico, e queremos saber se a função de onda proposta na alternativa (a) é válida. Para resolver isso, precisamos saber sobre funções de onda, simetria espacial e de spin, além de como combinar essas partes para obedecer o princípio de exclusão de Pauli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que elétrons são férmions, o que significa que a função de onda total do sistema precisa ser antissimétrica quando trocamos os dois elétrons. Isso é o princípio de exclusão de Pauli: se você trocar os dois elétrons, a função de onda muda de sinal.

Passo 3

A função de onda total é um produto da parte espacial e da parte de spin. Ou seja:
Psitotal = Psiespacial times Psispin
Para que a função total seja antissimétrica, se a parte espacial for simétrica, a parte de spin deve ser antissimétrica, e vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar a parte espacial da função proposta na alternativa (a):
R5(r1) Y4^5(theta1, phi1) R4(r2) Y4^5(theta2, phi2) + R5(r2) Y4^5(theta2, phi2) R4(r1) Y4^5(theta1, phi1)
Esse termo é simétrico em relação à troca dos elétrons 1 e 2, porque se você trocar $ r_{1} $ com $ r_{2} $ e $ \theta_{1}, \phi_{1} $ com $ \theta_{2}, \phi_{2} $, a expressão permanece a mesma.

Passo 5

Agora, vamos olhar para a parte de spin:
|uparrow downarrowrang<= - |downarrow uparrowrang<=
Essa combinação é antissimétrica em relação à troca dos spins dos elétrons. Se você trocar os elétrons, o sinal muda.

Passo 6

Como a parte espacial é simétrica e a parte de spin é antissimétrica, o produto das duas será:
Psitotal = (simétrica) times (antissimétrica) = antissimétrica ééé
Isso satisfaz o requisito do princípio de exclusão de Pauli para elétrons.

Resposta

A alternativa (a) apresenta uma função de onda válida para o sistema de dois elétrons.

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