Considere duas ondas descritas pelas funções de onda y1(x, t)=A sen(omega t+k x) e y2(x, t)=-A sen(omega t- k x ), que se propagam em uma corda com extremidade fixa em x=0.
Usando a função de onda obtida no item (a), encontre a posição dos nós.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas ondas que se movem em uma corda com uma extremidade fixa em y1(x, t) = A sin(omega t + k x) . As funções das ondas são dadas por:
y2(x, t) = -A sin(omega t - k x)
Nosso objetivo é encontrar a posição dos nós dessa combinação de ondas. Para isso, vamos precisar entender como as ondas se combinam e onde elas se cancelam completamente, formando esses pontos chamados de nós.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas ondas para obter a onda resultante. A superposição de ondas nos diz que podemos somar as funções de onda individualmente:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
y(x, t) = A sin(omega t + k x) - A sin(omega t - k x)

Passo 3

Agora, para simplificar essa expressão, vamos usar a identidade trigonométrica para a diferença de senos:
sin(a) - sin(b) = 2 cos(a + b2) sin(a - b2)
Aplicando isso na nossa expressão:
y(x, t) = 2A cos((omega t + k x) + (omega t - k x)2) sin((omega t + k x) - (omega t - k x)2)
y(x, t) = 2A cos(omega t) sin(k x)

Passo 4

Observamos que a onda resultante é uma onda estacionária, que é formada pela superposição de duas ondas com a mesma amplitude e frequência, mas sentido oposto. Nela, os nós são os pontos onde a amplitude é sempre zero, ou seja, onde a função de onda resultante se anula independentemente do tempo y(x, t) = 2A cos(omega t) sin(k x) .
Da equação da onda resultante:
sin(k x) = 0
Para que , precisamos que:

Passo 5

Vamos resolver k x = n pi onde n = 0, 1, 2, 3, ldots :
Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo inteiro de x = n pik :
Agora, resolvendo para :

Resposta

As posições dos nós estão nos pontos , onde é um número inteiro ( ).

Exercícios relacionados