Considere duas ondas descritas pelas funções de onda
e
), que se propagam em uma corda com extremidade fixa em
.
Usando a função de onda obtida no item (a), encontre a posição dos nós.
Usando a função de onda obtida no item (a), encontre a posição dos nós.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre duas ondas que se movem em uma corda com uma extremidade fixa em
. As funções das ondas são dadas por:
Nosso objetivo é encontrar a posição dos nós dessa combinação de ondas. Para isso, vamos precisar entender como as ondas se combinam e onde elas se cancelam completamente, formando esses pontos chamados de nós.
Passo 2
Primeiro, vamos somar as duas ondas para obter a onda resultante. A superposição de ondas nos diz que podemos somar as funções de onda individualmente:
Passo 3
Agora, para simplificar essa expressão, vamos usar a identidade trigonométrica para a diferença de senos:
Aplicando isso na nossa expressão:
Passo 4
Observamos que a onda resultante é uma onda estacionária, que é formada pela superposição de duas ondas com a mesma amplitude e frequência, mas sentido oposto. Nela, os nós são os pontos onde a amplitude é sempre zero, ou seja, onde a função de onda resultante se anula independentemente do tempo
.
Da equação da onda resultante:
Para que
, precisamos que:
Passo 5
Vamos resolver
:
Sabemos que o seno é zero quando seu argumento é múltiplo inteiro de
:
Agora, resolvendo para
:
Resposta
As posições dos nós estão nos pontos
, onde
é um número inteiro (
).
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e.