Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
e. x=2 raizy, x=0, y=9; em torno do eixo y

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado da questão pede. Precisamos encontrar o volume de um sólido que é formado quando rotacionamos uma região delimitada pelas curvas x=2 raizy, x=0 e y=9 ao redor do eixo y. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é um jeito comum de calcular volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender as curvas envolvidas e como aplicar a fórmula do volume.

Passo 2

Vamos desenhar a região delimitada pelas curvas. A curva x=2 raizy é uma parábola que se abre para a direita, e o limite vertical x=0 é a linha y-eixo. O limite superior y=9 nos dá um ponto onde a parábola toca. Para encontrar os pontos de interseção, vamos substituí-los na equação da parábola. Quando y=9, calculamos x:
x=2 raiz9 = 2 cdot 3 = 6
Assim, a área limitada pelas curvas é formada pelos pontos (0,0), (6,9) e ao longo da linha vertical em x=0.
Agora, como vamos rotacionar essa área em torno do eixo y, precisamos expressar x como uma função de y. A equação já está na forma x=2raizy, então não precisamos fazer nada a mais.

Passo 3

A fórmula para o volume V de um sólido de revolução usando o método dos discos em relação ao eixo y é dada por:
V = pi integrala^b [f(y)]^2 , dy
onde f(y) é a função que representa um limite da região rotacionada (neste caso, x=2raizy), e [a,b] são os limites de integração em y. Sabemos que, neste caso, estamos integrando de 0 até 9, então temos:
V = pi integral0^9 (2raizy)^2 , dy
Vamos simplificar isso:
(2raizy)^2 = 4y
Portanto, a integral fica:
V = pi integral0^9 4y , dy

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral. A integral de 4y é:
integral 4y , dy = 2y^2 + C
Agora, vamos avaliar a integral de 0 a 9:
V = pi [2y^2]0^9
Calculando:
V = pi [2(9^2) - 2(0^2)] = pi [2 cdot 81 - 0] = pi cdot 162
Assim, temos:
V = 162pi

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é 162pi.

Exercícios relacionados