Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
e. ; em torno do eixo

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o enunciado da questão pede. Precisamos encontrar o volume de um sólido que é formado quando rotacionamos uma região delimitada pelas curvas , e ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é um jeito comum de calcular volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender as curvas envolvidas e como aplicar a fórmula do volume.

Passo 2

Vamos desenhar a região delimitada pelas curvas. A curva é uma parábola que se abre para a direita, e o limite vertical é a linha -eixo. O limite superior nos dá um ponto onde a parábola toca. Para encontrar os pontos de interseção, vamos substituí-los na equação da parábola. Quando , calculamos :
Assim, a área limitada pelas curvas é formada pelos pontos , e ao longo da linha vertical em .
Agora, como vamos rotacionar essa área em torno do eixo , precisamos expressar como uma função de . A equação já está na forma , então não precisamos fazer nada a mais.

Passo 3

A fórmula para o volume de um sólido de revolução usando o método dos discos em relação ao eixo é dada por:
onde é a função que representa um limite da região rotacionada (neste caso, ), e são os limites de integração em . Sabemos que, neste caso, estamos integrando de até , então temos:
Vamos simplificar isso:
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral. A integral de é:
Agora, vamos avaliar a integral de a :
Calculando:
Assim, temos:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é .

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