Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido.
e.
; em torno do eixo
e.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o enunciado da questão pede. Precisamos encontrar o volume de um sólido que é formado quando rotacionamos uma região delimitada pelas curvas
,
e
ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é um jeito comum de calcular volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender as curvas envolvidas e como aplicar a fórmula do volume.
Passo 2
Vamos desenhar a região delimitada pelas curvas. A curva
é uma parábola que se abre para a direita, e o limite vertical
é a linha
-eixo. O limite superior
nos dá um ponto onde a parábola toca. Para encontrar os pontos de interseção, vamos substituí-los na equação da parábola. Quando
, calculamos
:
Assim, a área limitada pelas curvas é formada pelos pontos
,
e ao longo da linha vertical em
.
Agora, como vamos rotacionar essa área em torno do eixo
, precisamos expressar
como uma função de
. A equação já está na forma
, então não precisamos fazer nada a mais.
Passo 3
A fórmula para o volume
de um sólido de revolução usando o método dos discos em relação ao eixo
é dada por:
onde
é a função que representa um limite da região rotacionada (neste caso,
), e
são os limites de integração em
. Sabemos que, neste caso, estamos integrando de
até
, então temos:
Vamos simplificar isso:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral. A integral de
é:
Agora, vamos avaliar a integral de
a
:
Calculando:
Assim, temos:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é
.