Considere duas ondas descritas pelas funções de onda y1(x, t)=A sen(omega t+k x) e y2(x, t)=-A sen(omega t- k x ), que se propagam em uma corda com extremidade fixa em x=0.
(a) Obtenha a função de onda para a onda estacionária que será obtida.
(b) Usando a função de onda obtida no item (a), encontre a posição dos nós.
© Se a corda está fixa nas duas extremidades e tem comprimento L, quais comprimentos de onda podem ser observados considerando que a onda resultante é estacionária?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas ondas que se movem em uma corda com uma das extremidades fixa. A gente vai trabalhar com ondas estacionárias, que são formadas quando duas ondas de mesma amplitude e frequência se propagam em direções opostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar essas ondas e depois encontrar os pontos onde a corda não se move, chamados de nós.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas funções de onda que foram dadas:
Aqui, y1(x, t) = A sen(omega t + k x) é a amplitude, y2(x, t) = -A sen(omega t - k x) é a frequência angular e é o número de ondas.

Passo 3

Para encontrar a onda estacionária resultante, vamos somar y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A sen(omega t + k x) - A sen(omega t - k x) e :

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica que diz que:
Aplicando isso, temos:
Essa é a função de onda para a onda estacionária.

Passo 5

Para encontrar a posição dos nós, precisamos saber onde a amplitude é sempre zero. Olhando para a função da onda estacionária:
O fator que pode ser zero independentemente do tempo y(x, t) = 2A cos(kx) sen(omega t) é cos(kx) = 0 . Então, vamos resolver:
kx = pi2 + npi onde n é um inteiro
Sabemos que o cosseno é zero quando seu argumento é:
é

Passo 6

Isolando x = pi2 + npik = (2n + 1)pi2k :
x = (2n + 1)pi2k para n = 0, 1, 2, dots
Portanto, os nós estão nas posições:

Passo 7

Agora, para o item ©, consideramos que a corda está fixa nas duas extremidades e tem comprimento L = n lambda2 onde n é um inteiro positivo . Para ondas estacionárias nessa condição, os nós devem ocorrer exatamente nas extremidades e .
Sabemos que a distância entre dois nós consecutivos é , onde é o comprimento de onda. Como a corda tem comprimento , ela deve acomodar um número inteiro de metades de comprimento de onda:
é

Passo 8

Resolvendo para lambda = 2Ln onde n = 1, 2, 3, dots :

Resposta

As possíveis comprimentos de onda observados são:
lambda = 2Ln para n = 1, 2, 3, dots
Ou seja, pode ser , , , , e assim por diante, dependendo do valor de .

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