Considere duas ondas descritas pelas funções de onda
e
), que se propagam em uma corda com extremidade fixa em
.
(a) Obtenha a função de onda para a onda estacionária que será obtida.
(b) Usando a função de onda obtida no item (a), encontre a posição dos nós.
© Se a corda está fixa nas duas extremidades e tem comprimento
, quais comprimentos de onda podem ser observados considerando que a onda resultante é estacionária?
(a) Obtenha a função de onda para a onda estacionária que será obtida.
(b) Usando a função de onda obtida no item (a), encontre a posição dos nós.
© Se a corda está fixa nas duas extremidades e tem comprimento
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas ondas que se movem em uma corda com uma das extremidades fixa. A gente vai trabalhar com ondas estacionárias, que são formadas quando duas ondas de mesma amplitude e frequência se propagam em direções opostas. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar essas ondas e depois encontrar os pontos onde a corda não se move, chamados de nós.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas funções de onda que foram dadas:
Aqui,
é a amplitude,
é a frequência angular e
é o número de ondas.
Passo 3
Para encontrar a onda estacionária resultante, vamos somar
e
:
Passo 4
Agora, usamos a identidade trigonométrica que diz que:
Aplicando isso, temos:
Essa é a função de onda para a onda estacionária.
Passo 5
Para encontrar a posição dos nós, precisamos saber onde a amplitude é sempre zero. Olhando para a função da onda estacionária:
O fator que pode ser zero independentemente do tempo
é
. Então, vamos resolver:
Sabemos que o cosseno é zero quando seu argumento é:
Passo 6
Isolando
:
Portanto, os nós estão nas posições:
Passo 7
Agora, para o item ©, consideramos que a corda está fixa nas duas extremidades e tem comprimento
. Para ondas estacionárias nessa condição, os nós devem ocorrer exatamente nas extremidades
e
.
Sabemos que a distância entre dois nós consecutivos é
, onde
é o comprimento de onda. Como a corda tem comprimento
, ela deve acomodar um número inteiro de metades de comprimento de onda:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
As possíveis comprimentos de onda observados são:
Ou seja,
pode ser
,
,
,
, e assim por diante, dependendo do valor de
.
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