Considere duas ondas viajando em direções opostas, cujos componentes do campo elétrico são dados por:
e
Utilize as equações de Maxwell para calcular a componente do campo magnético estacionário associada a onda estacionária do campo elétrico encontrado na parte a).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve ondas eletromagnéticas e as Equações de Maxwell. A gente tem duas ondas viajando em direções opostas, e queremos encontrar a componente do campo magnético da onda estacionária resultante. Para isso, vamos precisar entender como os campos elétrico e magnético se relacionam nas ondas eletromagnéticas usando as Equações de Maxwell.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as expressões dos campos elétricos das duas ondas:
Aqui,
é a amplitude do campo elétrico,
é o número de onda,
é a frequência angular,
é a direção de propagação,
é o tempo, e
indica que o campo está na direção x.
Passo 3
Como as duas ondas estão viajando em direções opostas ao longo do eixo z, quando a gente soma essas duas ondas, forma-se uma onda estacionária. Para encontrar o campo elétrico total da onda estacionária, somamos
e
:
Passo 4
Vamos usar a identidade trigonométrica para somar os cossenos:
Aplicando isso na nossa soma:
Então, o campo elétrico da onda estacionária é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o campo magnético correspondente a essa onda estacionária. Sabemos que, para ondas eletromagnéticas, os campos elétrico
e magnético
estão relacionados pelas Equações de Maxwell. Em particular, a Lei de Ampère-Maxwell relaciona o campo elétrico ao campo magnético.
Para ondas viajando no vácuo, temos a relação:
Onde
é a velocidade da luz e
é a direção de propagação da onda.
Passo 6
No caso de uma onda estacionária, a direção de propagação não está mais bem definida porque temos superposição de ondas indo para frente e para trás. Porém, a relação entre
e
ainda se mantém localmente.
Para cada contribuição das ondas viajando em direções opostas, o campo magnético correspondente será:
Passo 7
Agora, somamos os campos magnéticos das duas ondas para obter o campo magnético da onda estacionária:
Usando a mesma identidade trigonométrica que usamos para o campo elétrico:
Resposta
A componente do campo magnético estacionário associada à onda elétrica é:
Exercícios relacionados
Um solenoide de raio
com
densidade de voltas por unidade de comprimento. A corrente que atravessa o solenóide varia com o tempo de forma senoidal como
. O campo magnético no solenóide é dado por
, portanto, varia também com o tempo. Assim calcule: Um campo elétrico variável causa um campo magnético
. Calcule o valor de
numa distância
a partir do eixo central do solenóide. Calcule a diferença entre o campo
que você acabou de achar e o campo magnético no eixo central do solenóide
.
Mostre que o campo eletromagnético descrito por:
satisfaz as equações de Maxwell no espaço livre se
e que
. Este campo pode existir numa caixa de metal ao longo da região
para qualquer valor de z. Faça um desenho mostrando como essa onde pode ser representada em 3 dimensões e comente sobre o resultado.
O campo elétrico de um feixe de luz polarizada é dado por
. (d) Qual é o vetor de Poynting?
Uma bobina curta de 25 voltas (bobina 1) com área frontal de
é colocada no interior de uma bobina longa (bobina 2), próxima de seu centro. Os eixos das bobinas coincidem. Faz-se variar a corrente na bobina 2 de modo que o campo magnético na mesma varie a taxa constante de 150 mT em um sentido para 150 mT no sentido oposto, em 75 ms . Determine: (a) a variação do fluxo
associada a cada volta da bobina 1 no intervalo de tempo de 75 ms ;