Considere duas pessoas a 4 km de distância uma da outra, localizadas em dois pontos A e B no solo. A pessoa no ponto A, olhando na direção de B, avistou, segundo um ângulo de 50° (com a horizontal), um helicóptero. No mesmo instante, a pessoa no ponto B, olhando na direção de A, avistou o mesmo helicóptero segundo um ângulo de 45° (com a horizontal). Aproximadamente, a que altura do solo o helicóptero estava naquele momento? Considere sen 45°=cos 45° e tg 50° ≅ 1,19.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas pessoas, uma no ponto A e outra no ponto B, separados por 4 km. Ambas avistam o mesmo helicóptero, mas com ângulos de elevação diferentes: 50° para a pessoa em A e 45° para a pessoa em B. Nosso objetivo é descobrir a altura do helicóptero em relação ao solo. Para resolver isso, vamos usar trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona ângulos com lados de um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação. Temos um triângulo retângulo formado pela altura do helicóptero (que queremos descobrir), a distância horizontal do helicóptero até o ponto A, e a linha de visão da pessoa em A. O mesmo vale para a pessoa em B.

Passo 3

Vamos chamar a altura do helicóptero de $ h $ (em km) e a distância horizontal do helicóptero até o ponto A de $ D $ (em km). Sabemos que a distância total entre A e B é de 4 km, então a distância horizontal até B será $ 4 - D $.

Passo 4

Agora, usamos a função tangente, que é definida como:
tan(theta) = opostoadjacente
Para a pessoa em A, temos:
tan(50°) = hD
Sabemos que $ \tan(50°) \approx 1,19 $, então:
tan(50°) approx 1,19

Passo 5

Para a pessoa em B, o ângulo é de 45°, e temos:
tan(45°) = h4 - D
Sabemos que $ \tan(45°) = 1 $, então:
tan(45°) = 1

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. $ D = \frac{h}{1,19} $
  2. $ 4 - D = h $
Vamos substituir a primeira equação na segunda:
D = h1,19

Passo 7

Para resolver, vamos multiplicar todos os termos por 1,19 para eliminar o denominador:
4 times 1,19 - h = 1,19h
4,76 - h = 1,19h

Passo 8

Agora, somamos $ h $ dos dois lados:
h
Dividindo ambos os lados por 2,19:
4,76 = 2,19h

Resposta

A altura do helicóptero acima do solo é aproximadamente 2,18 km.

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