Considere duas pessoas a 4 km de distância uma da outra, localizadas em dois pontos A e B no solo. A pessoa no ponto A, olhando na direção de B, avistou, segundo um ângulo de 50° (com a horizontal), um helicóptero. No mesmo instante, a pessoa no ponto B, olhando na direção de A, avistou o mesmo helicóptero segundo um ângulo de 45° (com a horizontal). Aproximadamente, a que altura do solo o helicóptero estava naquele momento? Considere sen 45°=cos 45° e tg 50° ≅ 1,19.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas pessoas, uma no ponto A e outra no ponto B, separados por 4 km. Ambas avistam o mesmo helicóptero, mas com ângulos de elevação diferentes: 50° para a pessoa em A e 45° para a pessoa em B. Nosso objetivo é descobrir a altura do helicóptero em relação ao solo. Para resolver isso, vamos usar trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona ângulos com lados de um triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a situação. Temos um triângulo retângulo formado pela altura do helicóptero (que queremos descobrir), a distância horizontal do helicóptero até o ponto A, e a linha de visão da pessoa em A. O mesmo vale para a pessoa em B.
Passo 3
Vamos chamar a altura do helicóptero de $ h $ (em km) e a distância horizontal do helicóptero até o ponto A de $ D $ (em km). Sabemos que a distância total entre A e B é de 4 km, então a distância horizontal até B será $ 4 - D $.
Passo 4
Agora, usamos a função tangente, que é definida como:
Para a pessoa em A, temos:
Sabemos que $ \tan(50°) \approx 1,19 $, então:
Passo 5
Para a pessoa em B, o ângulo é de 45°, e temos:
Sabemos que $ \tan(45°) = 1 $, então:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
- $ D = \frac{h}{1,19} $
- $ 4 - D = h $
Vamos substituir a primeira equação na segunda:
Passo 7
Para resolver, vamos multiplicar todos os termos por 1,19 para eliminar o denominador:
Passo 8
Agora, somamos $ h $ dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2,19:
Resposta
A altura do helicóptero acima do solo é aproximadamente 2,18 km.