Encontre o próximo termo da sequência: 1, 2, 6, 12, 20, 30, …

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de números: 1, 2, 6, 12, 20, 30, … e a pergunta é: qual é o próximo número dessa sequência? Para isso, vamos usar alguns conceitos de sequências numéricas e diferenças entre termos consecutivos. Vamos ver como identificar a regra que gera essa sequência para encontrar o próximo termo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os termos que já temos:
1, 2, 6, 12, 20, 30
Agora, vamos calcular a diferença entre cada termo e o anterior. Isso nos ajuda a entender como a sequência está crescendo.
  • 2 - 1 = 1
  • 6 - 2 = 4
  • 12 - 6 = 6
  • 20 - 12 = 8
  • 30 - 20 = 10
Então, as diferenças são: 1, 4, 6, 8, 10

Passo 3

Observando essas diferenças (1, 4, 6, 8, 10), a gente percebe que elas não são constantes, mas estão aumentando. Vamos ver como elas aumentam:
  • 4 - 1 = 3
  • 6 - 4 = 2
  • 8 - 6 = 2
  • 10 - 8 = 2
As diferenças das diferenças são: 3, 2, 2, 2
A partir do segundo termo das diferenças das diferenças, elas se tornam constantes (2). Isso indica que a sequência original é quadrática, ou seja, pode ser representada por uma equação do segundo grau na forma:
T(n) = an^2 + bn + c

Passo 4

Vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $. Sabemos os valores de $ T(n) $ para $ n = 1, 2, 3 $:
  1. Para $ n = 1 $:
a
b
  1. Para $ n = 2 $:
c
T(n)
  1. Para $ n = 3 $:
n = 1, 2, 3
n = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Primeira equação:
a + b + c = 1 (1)
Segunda equação:
4a + 2b + c = 2 (2)
Terceira equação:
9a + 3b + c = 6 (3)
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2):
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 2 - 1
3a + b = 1 (4)
Agora, subtrair a equação (2) da equação (3):
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 6 - 2
5a + b = 4 (5)

Passo 6

Agora, vamos resolver as equações (4) e (5):
Equação (4):
3a + b = 1
Equação (5):
5a + b = 4
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
(5a + b) - (3a + b) = 4 - 1
2a = 3
a = 32
Agora, substituindo $ a = \frac{3}{2} $ na equação (4):
a = 32
3(32) + b = 1
92 + b = 1
b = 1 - 92
Agora, substituindo $ a = \frac{3}{2} $ e $ b = -\frac{7}{2} $ na equação (1):
b = -72
a = 32
b = -72

Passo 7

Com os valores de $ a $, $ b $ e $ c $, a fórmula da sequência fica:
a
Vamos simplificar isso para facilitar:
b

Passo 8

Agora, para encontrar o próximo termo da sequência, que é o $ T(7) $, substituímos $ n = 7 $ na fórmula:
T(7)
n = 7
T(7) = 3(7)^2 - 7(7) + 62
T(7) = 3(49) - 49 + 62
T(7) = 147 - 49 + 62

Resposta

O próximo termo da sequência é 52.

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