Encontre o próximo termo da sequência: 1, 2, 6, 12, 20, 30, …
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de números: 1, 2, 6, 12, 20, 30, … e a pergunta é: qual é o próximo número dessa sequência? Para isso, vamos usar alguns conceitos de sequências numéricas e diferenças entre termos consecutivos. Vamos ver como identificar a regra que gera essa sequência para encontrar o próximo termo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os termos que já temos:
1, 2, 6, 12, 20, 30
Agora, vamos calcular a diferença entre cada termo e o anterior. Isso nos ajuda a entender como a sequência está crescendo.
- 2 - 1 = 1
- 6 - 2 = 4
- 12 - 6 = 6
- 20 - 12 = 8
- 30 - 20 = 10
Então, as diferenças são: 1, 4, 6, 8, 10
Passo 3
Observando essas diferenças (1, 4, 6, 8, 10), a gente percebe que elas não são constantes, mas estão aumentando. Vamos ver como elas aumentam:
- 4 - 1 = 3
- 6 - 4 = 2
- 8 - 6 = 2
- 10 - 8 = 2
As diferenças das diferenças são: 3, 2, 2, 2
A partir do segundo termo das diferenças das diferenças, elas se tornam constantes (2). Isso indica que a sequência original é quadrática, ou seja, pode ser representada por uma equação do segundo grau na forma:
Passo 4
Vamos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $. Sabemos os valores de $ T(n) $ para $ n = 1, 2, 3 $:
- Para $ n = 1 $:
- Para $ n = 2 $:
- Para $ n = 3 $:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2):
Agora, subtrair a equação (2) da equação (3):
Passo 6
Agora, vamos resolver as equações (4) e (5):
Equação (4):
Equação (5):
Subtraindo a equação (4) da equação (5):
Agora, substituindo $ a = \frac{3}{2} $ na equação (4):
Agora, substituindo $ a = \frac{3}{2} $ e $ b = -\frac{7}{2} $ na equação (1):
Passo 7
Com os valores de $ a $, $ b $ e $ c $, a fórmula da sequência fica:
Vamos simplificar isso para facilitar:
Passo 8
Agora, para encontrar o próximo termo da sequência, que é o $ T(7) $, substituímos $ n = 7 $ na fórmula:
Resposta
O próximo termo da sequência é 52.