Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
a) neF, onde e é a carga do elétron.
a) neF, onde e é a carga do elétron.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elétron que está se comportando como um oscilador harmônico quântico unidimensional na direção $ x $, com frequência $ \omega $. Agora, aplicam-se um campo elétrico fraco $ F $ na mesma direção $ x $. A pergunta quer saber qual é a correção de primeira ordem na energia própria $ E_n $ desse sistema usando a teoria de perturbação. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de oscilador harmônico quântico e teoria de perturbação de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um oscilador harmônico quântico. É um sistema onde uma partícula (neste caso, um elétron) oscila em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força restauradora proporcional à posição. As energias próprias desse sistema são dadas por:
onde $ n = 0, 1, 2, ··· $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, e $ \omega $ é a frequência angular do oscilador.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a teoria de perturbação de primeira ordem. Quando temos um sistema que sofre uma pequena perturbação (neste caso, o campo elétrico $ F $), a energia própria é ajustada. A correção de primeira ordem na energia é calculada como o valor esperado da perturbação no estado não perturbado:
onde $ H’ $ é o termo de perturbação na Hamiltoniana do sistema.
Passo 4
Vamos identificar o termo de perturbação $ H’ $. O campo elétrico $ F $ exerce uma força sobre o elétron, resultando em uma energia potencial dada por:
onde $ e $ é a carga do elétron e $ x $ é o operador posição.
Passo 5
Agora, precisamos calcular $ E_n^{(1)} $:
Aqui, $ \langle n | x | n \rangle $ é o valor esperado da posição no estado $ n $.
Passo 6
Para o oscilador harmônico quântico, sabemos que os valores esperados da posição nos estados próprios são zero, ou seja:
Isso ocorre porque a função de onda é simétrica em torno da posição de equilíbrio, fazendo com que as contribuições positivas e negativas se cancelem.
Passo 7
Substituindo esse resultado na expressão para $ E_n^{(1)} $:
Então, a correção de primeira ordem na energia própria é zero.
Resposta
A afirmação de que a correção de primeira ordem é $ neF $ está incorreta. Na verdade, a correção de primeira ordem para a energia própria $ E_n $ é zero.
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, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
d) , onde e é a carga do elétron.
d)
Um laser funciona a partir da emissão de fótons provenientes da transição de elétrons do nível
ao nível
de um poço quântico unidimensional de largura
. Qual a frequência em Hertz, aproximadamente, do fóton emitido nessa transição? Se você quiser aumentar essa frequência, você deve fazer
maior ou menor? Use
e
.
e) , menor
e)
Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
b) -neF, onde e é a carga do elétron.
b) -neF, onde e é a carga do elétron.
Uma âncora de ferro, de massa específica
, parece ser 200 N mais leve na água que no ar. (a) Qual é o volume da âncora? (b) Qual é o peso da âncora no ar?
PENSE Podemos usar o principio de Arquimedes para resolver o problema.
FORMULE 0 peso aparente da âncora quando está totalmente submersa na água é em que
é o peso real da anncora e
é a força de empuxo, em que
éa massa especifica da água e
é o volume da âncora.
ANALISE (a) Substituindo os valores conhecidos e explicitando V, obtemos
PENSE Podemos usar o principio de Arquimedes para resolver o problema.
FORMULE 0 peso aparente da âncora quando está totalmente submersa na água é
ANALISE (a) Substituindo os valores conhecidos e explicitando V, obtemos