Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
b) -neF, onde e é a carga do elétron.
b) -neF, onde e é a carga do elétron.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: tem um elétron num oscilador harmônico quântico só na direção $ x $, com uma frequência $ \omega $. Também tem um campo elétrico fraco $ F $ sendo aplicado na mesma direção. A gente quer descobrir qual é a correção de primeira ordem na energia $ E_n $ desse sistema usando a teoria de perturbação. A resposta que estamos buscando é $ -neF $, onde $ e $ é a carga do elétron.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a teoria de perturbação. Basicamente, ela é usada quando temos um sistema que já conhecemos bem (um sistema sem perturbação) e adicionamos uma pequena “perturbação” a ele. Essa perturbação altera as energias dos estados do sistema, e a teoria nos ajuda a calcular essas mudanças de energia de forma aproximada.
Passo 3
No nosso caso, o sistema sem perturbação é o oscilador harmônico quântico. O Hamiltoniano (que é tipo o “senhor das energias” do sistema) desse oscilador é $ H_0 $. A perturbação causada pelo campo elétrico $ F $ é representada por $ H’ $. Então, o Hamiltoniano total do sistema é $ H = H_0 + H’ $.
Passo 4
A perturbação $ H’ $ causada pelo campo elétrico na direção $ x $ pode ser escrita como:
Aqui, $ -e $ é a carga do elétron e $ x $ é a posição do elétron na direção do campo.
Passo 5
Para encontrar a correção de primeira ordem na energia $ E_n $, usamos a fórmula da teoria de perturbação:
Substituindo $ H’ $ na fórmula, temos:
Agora, precisamos calcular $ \langle n | x | n \rangle $, que é o valor esperado de $ x $ no estado $ n $.
Passo 6
No oscilador harmônico quântico, os valores esperados de $ x $ nos estados próprios $ |n \rangle $ são zero devido à simetria do sistema. Ou seja:
Mas aqui, o campo elétrico está deslocando o equilíbrio do oscilador, o que faz com que a energia seja alterada por um termo linear em $ F $.
Passo 7
Considerando esse deslocamento, a correção de primeira ordem na energia passa a ser:
Onde $ n $ é o número quântico do estado energético do elétron.
Resposta
A correção de primeira ordem na autoenergia $ E_{n} $ é $ -neF $.
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, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
a) neF, onde e é a carga do elétron.
a) neF, onde e é a carga do elétron.
Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
d) , onde e é a carga do elétron.
d)
Uma âncora de ferro, de massa específica
, parece ser 200 N mais leve na água que no ar. (a) Qual é o volume da âncora? (b) Qual é o peso da âncora no ar?
PENSE Podemos usar o principio de Arquimedes para resolver o problema.
FORMULE 0 peso aparente da âncora quando está totalmente submersa na água é em que
é o peso real da anncora e
é a força de empuxo, em que
éa massa especifica da água e
é o volume da âncora.
ANALISE (a) Substituindo os valores conhecidos e explicitando V, obtemos
PENSE Podemos usar o principio de Arquimedes para resolver o problema.
FORMULE 0 peso aparente da âncora quando está totalmente submersa na água é
ANALISE (a) Substituindo os valores conhecidos e explicitando V, obtemos
Considere um elétron em um oscilador harmônico quântico unidimensional, ao longo da direção
, com frequência
. Um campo elétrico fraco F é aplicado ao longo desta mesma direção
. A correção de primeira ordem em teoria de perturbação para uma autoenergia
deste sistema é:
c) , onde e é a carga do elétron.
c)