Considere um escoamento com as componentes da velocidade u=0, v=-y^3-4 z, e w=3 y^2 z.
(a) Este escoamento é uni, bi ou tridimensional?
(b) Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível
© Se possível, deduza uma função de corrente para este escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado apresenta um escoamento com as componentes de velocidade dadas por , e . Vamos precisar usar conceitos de dimensões do escoamento, compressibilidade e função de corrente para resolver as partes (a), (b) e ©.

Passo 2

Parte (a): Determinar se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional.
Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
  • Unidimensional: A velocidade só varia em uma direção.
  • Bidimensional: A velocidade varia em duas direções.
  • Tridimensional: A velocidade varia em todas as três direções.
Vamos analisar as componentes de velocidade , e :
  • A componente indica que não há variação na direção x.
  • A componente depende de e , mostrando variação nestas direções.
  • A componente também depende de e .
Como as componentes e dependem de e , o escoamento varia em duas direções (y e z). Assim, ele é bidimensional.

Passo 3

Parte (b): Verificar se o escoamento é incompressível ou compressível.
Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. A divergência nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z em coordenadas cartesianas é dada por:
nabla cdot V = 0 + (-3y^2) + 3y^2 = 0
Vamos calcular cada termo:
Somando os termos:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Parte ©: Deduzir uma função de corrente para este escoamento.
Para um escoamento bidimensional incompressível, podemos definir uma função de corrente u = partial psipartial y, v = -partial psipartial x tal que:
0 = partial psipartial y Rightarrow psi não depende de y
No nosso caso, o escoamento é bidimensional e incompressível, então podemos usar essa relação. Contudo, notamos que a componente v = partial psipartial z, w = -partial psipartial y , então:
v = -y^3 - 4z = partial psipartial z w = 3y^2z = -partial psipartial y ã
Então, vamos expressar psi = integral (-y^3 - 4z) , dz = -y^3z - 2z^2 + f(y) e -partial psipartial y = -(-3y^2z) - f'(y) = 3y^2z - f'(y) = 3y^2z em termos de psi = -y^3z - 2z^2 . Porém, nosso escoamento também depende de , então precisamos adaptar a função de corrente para três dimensões.
Em três dimensões, uma função de corrente pode ser definida de forma que:
Vamos igualar às componentes dadas:
Integrando em relação a :
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos considerar zero.
Portanto, a função de corrente é:

Resposta

(a) O escoamento é bidimensional.
(b) O escoamento é incompressível.
© Uma função de corrente para este escoamento é .

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