Considere um escoamento com as componentes da velocidade
, e
.
(a) Este escoamento é uni, bi ou tridimensional?
(b) Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível
© Se possível, deduza uma função de corrente para este escoamento.
(a) Este escoamento é uni, bi ou tridimensional?
(b) Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível
© Se possível, deduza uma função de corrente para este escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado apresenta um escoamento com as componentes de velocidade dadas por
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de dimensões do escoamento, compressibilidade e função de corrente para resolver as partes (a), (b) e ©.
Passo 2
Parte (a): Determinar se o escoamento é unidimensional, bidimensional ou tridimensional.
Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
- Unidimensional: A velocidade só varia em uma direção.
- Bidimensional: A velocidade varia em duas direções.
- Tridimensional: A velocidade varia em todas as três direções.
Vamos analisar as componentes de velocidade
,
e
:
- A componente
indica que não há variação na direção x. - A componente
depende de e , mostrando variação nestas direções. - A componente
também depende de e .
Como as componentes
e
dependem de
e
, o escoamento varia em duas direções (y e z). Assim, ele é bidimensional.
Passo 3
Parte (b): Verificar se o escoamento é incompressível ou compressível.
Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. A divergência
em coordenadas cartesianas é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Somando os termos:
Como a divergência é zero, o escoamento é incompressível.
Passo 4
Parte ©: Deduzir uma função de corrente para este escoamento.
Para um escoamento bidimensional incompressível, podemos definir uma função de corrente
tal que:
No nosso caso, o escoamento é bidimensional e incompressível, então podemos usar essa relação. Contudo, notamos que a componente
, então:
Então, vamos expressar
e
em termos de
. Porém, nosso escoamento também depende de
, então precisamos adaptar a função de corrente para três dimensões.
Em três dimensões, uma função de corrente
pode ser definida de forma que:
Vamos igualar às componentes dadas:
Integrando
em relação a
:
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar zero.
Portanto, a função de corrente é:
Resposta
(a) O escoamento é bidimensional.
(b) O escoamento é incompressível.
© Uma função de corrente para este escoamento é .
(b) O escoamento é incompressível.
© Uma função de corrente para este escoamento é