O campo de velocidade em uma camada limite laminar é dado pela expressão
V=A U yx^1 / 2 imath+A U y^24 x^3 / 2 jmath
Nesta expressão, A=141 m^-1 / 2 e U=0,240 m / s é a velocidade da corrente livre. Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível. Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(0,5 m ; 5 mm). Determine a inclinação da linha de corrente através desse ponto. R: ap=-2 , 8 6(1 0^-2 imath+1 0^-4 jmath) m / s^2; inclinação =2 , 5 0 times 10^-3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade para um escoamento laminar na camada limite, dado pela expressão:
V = A U yx^1/2 imath + A U y^24 x^3/2 jmath
Onde:
Precisamos:
  1. Mostrar que o escoamento é incompressível.
  2. Calcular a aceleração de uma partícula no ponto .
  3. Determinar a inclinação da linha de corrente nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível, aceleração em campos de velocidade e linhas de corrente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. Ou seja:
nabla cdot V = partial Vxpartial x + partial Vypartial y = 0
Vamos calcular cada termo.

Passo 3

Calculando partial Vxpartial x = partialpartial x ( A U y x^-1/2 ) = -12 A U y x^-3/2 :
Dada , a derivada em relação a é:

Passo 4

Calculando partial Vypartial y = partialpartial y ( A U y^24 x^3/2 ) = A U cdot 2y4 x^3/2 = A U y2 x^3/2 :
Dada , a derivada em relação a é:

Passo 5

Agora, somando as duas derivadas para verificar a incompressibilidade:
nabla cdot V = -12 A U y x^-3/2 + A U y2 x^3/2 = 0
Portanto, o escoamento é incompressível.

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto a = ( Vx partial Vxpartial x + Vy partial Vxpartial y ) imath + ( Vx partial Vypartial x + Vy partial Vypartial y ) jmath . A aceleração em um campo de velocidade é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Já temos:
  • partial Vxpartial y = partialpartial y ( A U yx^1/2 ) = A Ux^1/2
  • partial Vypartial x = partialpartial x ( A U y^24 x^3/2 ) = -32 cdot A U y^24 x^5/2 = -3 A U y^28 x^5/2
Agora, calculamos e :

Passo 8

Substituindo no vetor aceleração:
a = ( Vx cdot (-12 A U y x^-3/2) + Vy cdot A Ux^1/2 ) imath + ( Vx cdot (-3 A U y^28 x^5/2) + Vy cdot A U y2 x^3/2 ) jmath
Vamos simplificar substituindo Vx = A U yx^1/2 Vy = A U y^24 x^3/2 e :

Passo 9

Substituindo os valores de Vx cdot (-12 A U y x^-3/2) = A U yx^1/2 cdot (-12 A U y x^-3/2) = -12 A^2 U^2 y^2x^2 e Vy cdot A Ux^1/2 = A U y^24 x^3/2 cdot A Ux^1/2 = A^2 U^2 y^24 x^2 :
Para a componente Componente imath: -12 A^2 U^2 y^2x^2 + A^2 U^2 y^24 x^2 = -14 A^2 U^2 y^2x^2 :
Vx cdot (-3 A U y^28 x^5/2) = A U yx^1/2 cdot (-3 A U y^28 x^5/2) = -38 A^2 U^2 y^3x^3
Vy cdot A U y2 x^3/2 = A U y^24 x^3/2 cdot A U y2 x^3/2 = A^2 U^2 y^38 x^3
Então:
Componente jmath: -38 A^2 U^2 y^3x^3 + A^2 U^2 y^38 x^3 = -28 A^2 U^2 y^3x^3 = -14 A^2 U^2 y^3x^3
Para a componente :
Então:

Passo 10

Agora, substituímos os valores de ax = -14 times 141^2 times 0,240^2 times 0,005^20,5^2 ax = -14 times 19881 times 0,0576 times 0,0000250,25 ax = -14 times 19881 times 0,0576 times 0,0001 ax approx -2,86 times 10^-2 , m/s^2 , ay = -14 times 141^2 times 0,240^2 times 0,005^30,5^3 ay = -14 times 19881 times 0,0576 times 0,0000001250,125 ay = -14 times 19881 times 0,0576 times 0,000001 ay approx -2,86 times 10^-4 , m/s^2 , a = -2,86 times 10^-2 imath - 2,86 times 10^-4 jmath , m/s^2 e :
Dados:
Calculando as componentes:
Para :
Para :
Portanto, a aceleração é:

Passo 11

Por fim, vamos determinar a inclinação da linha de corrente no ponto tan theta = VyVx . A inclinação Vx = 141 times 0,240 times 0,0050,5^1/2 = 0,16920,7071 approx 0,239 , m/s pode ser encontrada pela razão das componentes da velocidade:
Vy = 141 times 0,240 times (0,005)^24 times 0,5^3/2 = 141 times 0,240 times 0,0000254 times 0,3536 approx 2,5 times 10^-3
Calculando tan theta = 2,5 times 10^-30,239 approx 1,05 times 10^-2 e theta approx tan^-1(1,05 times 10^-2) approx 0,6^circ :
Inclinação approx 2,50 times 10^-3
Então:
Calculando :
Convertendo para a inclinação solicitada:
Como a inclinação é em termos de razão, temos aproximadamente:
çã

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto ap = -2,86 times 10^-2 imath - 2,86 times 10^-4 jmath , m/s^2 é:
Inclinação = 2,50 times 10^-3
E a inclinação da linha de corrente através desse ponto é aproximadamente:
çã

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