O campo de velocidade em uma camada limite laminar é dado pela expressão
Nesta expressão, e é a velocidade da corrente livre. Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível. Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto . Determine a inclinação da linha de corrente através desse ponto. R: ; inclinação

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade para um escoamento laminar na camada limite, dado pela expressão:
Onde:
Precisamos:
  1. Mostrar que o escoamento é incompressível.
  2. Calcular a aceleração de uma partícula no ponto .
  3. Determinar a inclinação da linha de corrente nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível, aceleração em campos de velocidade e linhas de corrente. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. Ou seja:
Vamos calcular cada termo.

Passo 3

Calculando :
Dada , a derivada em relação a é:

Passo 4

Calculando :
Dada , a derivada em relação a é:

Passo 5

Agora, somando as duas derivadas para verificar a incompressibilidade:
Portanto, o escoamento é incompressível.

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto . A aceleração em um campo de velocidade é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Já temos:
Agora, calculamos e :

Passo 8

Substituindo no vetor aceleração:
Vamos simplificar substituindo e :

Passo 9

Substituindo os valores de e :
Para a componente :
Então:
Para a componente :
Então:

Passo 10

Agora, substituímos os valores de , , e :
Dados:
Calculando as componentes:
Para :
Para :
Portanto, a aceleração é:

Passo 11

Por fim, vamos determinar a inclinação da linha de corrente no ponto . A inclinação pode ser encontrada pela razão das componentes da velocidade:
Calculando e :
Então:
Calculando :
Convertendo para a inclinação solicitada:
Como a inclinação é em termos de razão, temos aproximadamente:
çã

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto é:
E a inclinação da linha de corrente através desse ponto é aproximadamente:
çã

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