O campo de velocidade em uma camada limite laminar é dado pela expressão
Nesta expressão,
e
é a velocidade da corrente livre. Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível. Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto
. Determine a inclinação da linha de corrente através desse ponto. R:
; inclinação
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade para um escoamento laminar na camada limite, dado pela expressão:
Onde:
Precisamos:
- Mostrar que o escoamento é incompressível.
- Calcular a aceleração de uma partícula no ponto
. - Determinar a inclinação da linha de corrente nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível, aceleração em campos de velocidade e linhas de corrente. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o escoamento é incompressível. Um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero. Ou seja:
Vamos calcular cada termo.
Passo 3
Calculando
:
Dada
, a derivada em relação a
é:
Passo 4
Calculando
:
Dada
, a derivada em relação a
é:
Passo 5
Agora, somando as duas derivadas para verificar a incompressibilidade:
Portanto, o escoamento é incompressível.
Passo 6
Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto
. A aceleração
em um campo de velocidade é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Já temos:
Agora, calculamos
e
:
Passo 8
Substituindo no vetor aceleração:
Vamos simplificar substituindo
e
:
Passo 9
Substituindo os valores de
e
:
Para a componente
:
Então:
Para a componente
:
Então:
Passo 10
Agora, substituímos os valores de
,
,
e
:
Dados:
Calculando as componentes:
Para
:
Para
:
Portanto, a aceleração é:
Passo 11
Por fim, vamos determinar a inclinação da linha de corrente no ponto
. A inclinação
pode ser encontrada pela razão das componentes da velocidade:
Calculando
e
:
Então:
Calculando
:
Convertendo para a inclinação solicitada:
Como a inclinação é em termos de razão, temos aproximadamente:
Resposta
A aceleração da partícula fluida no ponto
é:
E a inclinação da linha de corrente através desse ponto é aproximadamente:
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, e
.
(a) Este escoamento é uni, bi ou tridimensional?
(b) Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível
© Se possível, deduza uma função de corrente para este escoamento.
(a) Este escoamento é uni, bi ou tridimensional?
(b) Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível
© Se possível, deduza uma função de corrente para este escoamento.