Uma parede plana, com espessura de 0,1 m e condutividade térmica de 25 W /(m K), apresenta uma taxa volumétrica de geração de calor uniforme de 0,3 MW / m^3 e está isolada em um dos seus lados, enquanto o outro se encontra exposto a um fluido a 92^circ C. O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a parede e o fluido é de 500 W /(m^2 K). Determine a temperatura máxima na parede.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parede plana com certas propriedades térmicas e queremos descobrir qual é a temperatura máxima que ela atinge. Para isso, vamos usar conceitos de condução de calor com geração interna e convecção na superfície exposta. Vamos precisar das fórmulas de condução de calor com geração interna e das condições de contorno para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Espessura da parede (L): 0,1 m
  • Condutividade térmica (k): 25 W/(m·K)
  • Taxa volumétrica de geração de calor (q’’’): 0,3 MW/m³ = 300,000 W/m³
  • Temperatura do fluido ( ): 92°C
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção (h): 500 W/(m²·K)
  • Uma face isolada: significa que não há troca de calor por condução nessa face.

Passo 3

Como uma das faces está isolada, isso significa que não há fluxo de calor através dessa face. A outra face está em contato com um fluido que retira calor por convecção. Vamos considerar que a parede está em regime permanente, ou seja, a temperatura não varia no tempo.

Passo 4

Vamos modelar a transferência de calor na parede. Como há geração interna de calor, a equação de condução de calor com geração interna é dada por:
d^2 Tdx^2 = -q'''k
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a posição dentro da parede.

Passo 5

Integrando a equação acima duas vezes para encontrar a distribuição de temperatura dTdx = -q'''kx + C1 :
Primeira integração:
T(x) = -q'''2kx^2 + C1 x + C2
Segunda integração:
Onde e são constantes de integração que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições de contorno:
  1. Face isolada (x = 0): Não há fluxo de calor, então a derivada da temperatura em relação a dTdx|x=0 = 0 = -q'''k(0) + C1 Rightarrow C1 = 0 é zero.
    -k dTdx|x=L = h (T(L) - Tinfty)
  2. Face em contato com o fluido (x = L): O fluxo de calor por condução na parede é igual ao fluxo por convecção na superfície.

Passo 7

Com T(x) = -q'''2kx^2 + C2 , a equação da temperatura fica:
-k dTdx|x=L = h (T(L) - Tinfty)
Agora, aplicamos a segunda condição de contorno no ponto dTdx = -q'''kx :
-k (-q'''kL) = h (T(L) - Tinfty)
Calculando a derivada:
q''' L = h (T(L) - Tinfty)
Então, em :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos q''' L = h (-q'''2kL^2 + C2 - Tinfty) na equação:
C2 = q''' Lh + Tinfty + q''' L^22k
Isolando :

Passo 9

Agora que temos T(x) = -q'''2kx^2 + (q''' Lh + Tinfty + q''' L^22k) , a expressão da temperatura fica:
T(x) = Tinfty + q''' Lh + q'''2k(L^2 - x^2)
Simplificando:

Passo 10

Para encontrar a temperatura máxima, precisamos achar o ponto onde a derivada da temperatura em relação a dTdx = -q'''kx = 0 é zero:
Isso acontece quando . Portanto, a temperatura máxima ocorre na face isolada ( ).

Passo 11

Substituindo Tmax = Tinfty + q''' Lh + q''' L^22k na expressão de Tmax = 92,°C + 300,000 times 0,1500 + 300,000 times (0,1)^22 times 25 :
Tmax = 92,°C + 60,°C + 60,°C = 212,°C
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A temperatura máxima na parede é de 212 °C.

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