Considere o escoamento permanente, unidimensional e completamente desenvolvido de um fluido não-newtoniano descrito pela lei de Potência através de um duto cilíndrico de raio
, sendo conhecidas as pressões na seção de entrada e saída, respectivamente. Deduza expressões para o perfil de tensão de cisalhamento, perfil de velocidade do líquido e vazão mássica do fluido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o fluxo contínuo e permanente de um fluido não-newtoniano que segue a lei de potência, passando por um tubo cilíndrico com raio
. Sabemos as pressões na entrada e na saída do tubo. Vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como tensão de cisalhamento, perfil de velocidade e vazão mássica. Além disso, usaremos a lei de potência para fluidos não-newtonianos, que relaciona a tensão de cisalhamento com a taxa de deformação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para o perfil de tensão de cisalhamento. Em um fluxo completamente desenvolvido e unidimensional, a única direção de variação é radial. A tensão de cisalhamento
em qualquer ponto do tubo depende da força de viscosidade atuando no fluido.
Sabemos que a diferença de pressão
entre a entrada e a saída é balanceada pela tensão de cisalhamento. A relação entre a tensão de cisalhamento e a pressão é dada por:
Onde
é o gradiente de pressão ao longo do tubo. Integrando essa equaç��o, obtemos a expressão para
:
Aqui,
é a tensão de cisalhamento na parede do tubo (quando
).
Passo 3
Agora, vamos determinar o perfil de velocidade do líquido. Para fluidos não-newtonianos que seguem a lei de potência, a relação entre a tensão de cisalhamento
e a taxa de deformação
é dada por:
Onde
é a consistência e
é o índice de fluidez. Rearranjando para
:
Substituindo
da etapa anterior:
Integrando de
a
(considerando que a velocidade na parede
):
Após integração e simplificação, obtemos:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a vaz��o mássica do fluido. A vazão volumétrica
é dada pela integração do perfil de velocidade sobre a área da seção transversal:
Substituindo
da etapa anterior:
Resolvendo a integral, encontramos:
Considerando a relação entre a diferença de pressão e
, podemos expressar
em termos de
:
Resposta
As expressões deduzidas são:
-
Perfil de tensão de cisalhamento:
-
Perfil de velocidade do líquido:
-
Vazão mássica do fluido: