Considere o escoamento permanente, unidimensional e completamente desenvolvido de um fluido não-newtoniano descrito pela lei de Potência através de um duto cilíndrico de raio R, sendo conhecidas as pressões na seção de entrada e saída, respectivamente. Deduza expressões para o perfil de tensão de cisalhamento, perfil de velocidade do líquido e vazão mássica do fluido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o fluxo contínuo e permanente de um fluido não-newtoniano que segue a lei de potência, passando por um tubo cilíndrico com raio . Sabemos as pressões na entrada e na saída do tubo. Vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como tensão de cisalhamento, perfil de velocidade e vazão mássica. Além disso, usaremos a lei de potência para fluidos não-newtonianos, que relaciona a tensão de cisalhamento com a taxa de deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para o perfil de tensão de cisalhamento. Em um fluxo completamente desenvolvido e unidimensional, a única direção de variação é radial. A tensão de cisalhamento dtaudr = -12 dPdx em qualquer ponto do tubo depende da força de viscosidade atuando no fluido.
Sabemos que a diferença de pressão tau(r) = tauR (1 - rR) entre a entrada e a saída é balanceada pela tensão de cisalhamento. A relação entre a tensão de cisalhamento e a pressão é dada por:
Onde é o gradiente de pressão ao longo do tubo. Integrando essa equaç��o, obtemos a expressão para :
Aqui, é a tensão de cisalhamento na parede do tubo (quando ).

Passo 3

Agora, vamos determinar o perfil de velocidade do líquido. Para fluidos não-newtonianos que seguem a lei de potência, a relação entre a tensão de cisalhamento tau = K ( dudr )^n e a taxa de deformação dudr = ( tauK )^1n é dada por:
dudr = ( tauR (1 - rR)K )^1n
Onde u(r) = integralr^R ( tauR (1 - rhoR)K )^1n drho é a consistência e u(r) = n KtauR^1n [ 1 - ( rR )^n+1n ] é o índice de fluidez. Rearranjando para :
Substituindo da etapa anterior:
Integrando de a (considerando que a velocidade na parede ):
Após integração e simplificação, obtemos:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a vaz��o mássica do fluido. A vazão volumétrica Q = 2pi integral0^R u(r) r dr é dada pela integração do perfil de velocidade sobre a área da seção transversal:
Q = 2pi n KtauR^1n integral0^R [ 1 - ( rR )^n+1n ] r dr
Substituindo Q = 2pi n K R^2tauR^1n ( 12 - n2n + 1 ) = pi n K R^2tauR^1n ( 12n + 1 ) da etapa anterior:
Q = pi n K R^3(2n + 1) De
Resolvendo a integral, encontramos:
Considerando a relação entre a diferença de pressão e , podemos expressar em termos de :

Resposta

As expressões deduzidas são:
  1. Perfil de tensão de cisalhamento:
    tau(r) = tauR (1 - rR)
  2. Perfil de velocidade do líquido:
    u(r) = n KtauR^1n [ 1 - ( rR )^n+1n ]
  3. Vazão mássica do fluido:
    Q = pi n K R^3(2n + 1) De

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