Considere uma esfera condutora oca com raio interno e raio externo , carregada com uma carga total , distribuída uniformemente apenas na superfície externa da esfera. No centro dessa esfera, está localizada uma carga pontual . O meio entre a carga pontual e a esfera condutora é o vácuo. Usando a Lei de Gauss, mostre o que acontece com o fluxo elétrico através de uma superfície esférica imaginária centrada na carga , à medida que o raio dessa superfície assume os valores: C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora oca com raio interno de e raio externo de . Essa esfera tá carregada com uma carga total de , mas essa carga tá distribuída só na superfície externa da esfera. No centro dessa esfera, tem uma carga pontual de . O espaço entre a carga pontual e a esfera é vácuo. A gente vai usar a Lei de Gauss para descobrir o que acontece com o fluxo elétrico através de uma superfície esférica imaginária centrada na carga , quando o raio dessa superfície for maior que , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total passando por uma superfície fechada (a chamada superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica :
Aqui, é a soma de todas as cargas dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

No nosso caso, a superfície gaussiana é uma esfera imaginária com raio , centrada na carga . Precisamos determinar quais cargas estão dentro dessa superfície.
Temos duas cargas:
  1. A carga pontual no centro.
  2. A carga na superfície externa da esfera condutora.

Passo 4

Além disso, como a esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático, a carga no centro induz uma carga igual e oposta na superfície interna da esfera condutora. Ou seja, a superfície interna da esfera vai ter uma carga de para cancelar o campo elétrico interno causado por .

Passo 5

A carga total está distribuída na superfície externa da esfera. Então, a carga total dentro da superfície gaussiana (que inclui o centro e a esfera condutora) é a soma da carga pontual e da carga externa :

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
Onde é a constante de permissividade do vácuo, cujo valor é aproximadamente .

Resposta

O fluxo elétrico através da superfície esférica imaginária com é dado por:
Isso significa que o fluxo elétrico é positivo e proporcional à carga líquida encerrada pela superfície gaussiana.

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