Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não-uniforme dada por
, em que R representa o raio da esfera, r , a distância de um ponto qualquer da esfera até o centro, e
, uma constante qualquer. Calcule:
O campo elétrico fora da esfera (
).
O campo elétrico fora da esfera (
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante onde a carga não está distribuída de forma uniforme. A densidade de carga é dada por
, onde:
-
é o raio da esfera, -
é a distância de qualquer ponto dentro da esfera até o centro, -
é uma constante.
Queremos encontrar o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos com simetrias específicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a carga total
presente na esfera. A densidade de carga
nos diz como a carga está distribuída dentro da esfera, então vamos integrar
sobre todo o volume da esfera.
A densidade de carga é
. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
. Então, a carga total
é:
Passo 3
Vamos simplificar a integral:
Integrando
de 0 a
:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora que temos a carga total
, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera (
).
A Lei de Gauss nos diz que:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento de área da superfície gaussiana, -
é a carga total dentro da superfície gaussiana, -
é a permissividade do vácuo.
Como estamos calculando fora da esfera, a superfície gaussiana será uma esfera de raio
, e todo o campo elétrico
terá a mesma magnitude e será radialmente simétrico.
Passo 5
A integral do lado esquerdo da Lei de Gauss simplifica para:
Isolando
:
Substituindo
:
Resposta
O campo elétrico fora da esfera (
) é: