Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não-uniforme dada por rho=C r / R, em que R representa o raio da esfera, r , a distância de um ponto qualquer da esfera até o centro, e C, uma constante qualquer. Calcule:
O campo elétrico fora da esfera ( r>R ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera isolante onde a carga não está distribuída de forma uniforme. A densidade de carga é dada por rho = C cdot rR, onde:
  • R é o raio da esfera,
  • r é a distância de qualquer ponto dentro da esfera até o centro,
  • C é uma constante.
Queremos encontrar o campo elétrico fora da esfera, ou seja, para r > R. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos com simetrias específicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a carga total Q presente na esfera. A densidade de carga rho nos diz como a carga está distribuída dentro da esfera, então vamos integrar rho sobre todo o volume da esfera.
A densidade de carga é rho = C cdot rR. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV = 4pi r^2 dr. Então, a carga total Q é:
Q = integral0^R rho cdot dV = integral0^R C cdot rR cdot 4pi r^2 dr

Passo 3

Vamos simplificar a integral:
Q = 4pi CR integral0^R r^3 dr
Integrando r^3 de 0 a R:
integral0^R r^3 dr = [ r^44 ]0^R = R^44
Então, substituindo de volta:
Q = 4pi CR cdot R^44 = pi C R^3

Passo 4

Agora que temos a carga total Q = pi C R^3, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera ( r > R).
A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • dA é o elemento de área da superfície gaussiana,
  • Qenc é a carga total dentro da superfície gaussiana,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Como estamos calculando fora da esfera, a superfície gaussiana será uma esfera de raio r > R, e todo o campo elétrico E terá a mesma magnitude e será radialmente simétrico.

Passo 5

A integral do lado esquerdo da Lei de Gauss simplifica para:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Isolando E:
E = Q4pi varepsilon0 r^2
Substituindo Q = pi C R^3:
E = pi C R^34pi varepsilon0 r^2 = C R^34 varepsilon0 r^2

Resposta

O campo elétrico fora da esfera ( r > R) é:
E(r) = C R^34, varepsilon0, r^2

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