Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não-uniforme dada por rho=C r / R, em que R representa o raio da esfera, r , a distância de um ponto qualquer da esfera até o centro, e C, uma constante qualquer. Calcule:
A carga total distribuída na esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que foi pedido: temos uma esfera isolante com uma distribuição de carga que não é uniforme, definida por rho = C rR. Aqui, R é o raio da esfera, r é a distância de qualquer ponto na esfera até o centro, e C é uma constante. Nosso objetivo é calcular a carga total distribuída nessa esfera. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de carga.

Passo 2

Para encontrar a carga total ( Q) distribuída na esfera, vamos integrar a densidade de carga ( rho) por todo o volume da esfera. A fórmula geral para a carga total é:
Q = integralV rho , dV

Passo 3

Como a distribuição de carga depende apenas da distância r ao centro, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume ( dV) é dado por:
dV = 4pi r^2 dr

Passo 4

Substituindo a expressão da densidade de carga e do elemento de volume na integral, temos:
Q = integral0^R C rR cdot 4pi r^2 , dr

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Q = 4pi CR integral0^R r^3 , dr

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^R r^3 , dr = [ r^44 ]0^R = R^44

Passo 7

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para Q:
Q = 4pi CR cdot R^44 = pi C R^3

Resposta

A carga total distribuída na esfera é Q = pi C R^3.

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