Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não-uniforme dada por
, em que R representa o raio da esfera, r , a distância de um ponto qualquer da esfera até o centro, e
, uma constante qualquer. Calcule:
A carga total distribuída na esfera.
A carga total distribuída na esfera.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que foi pedido: temos uma esfera isolante com uma distribuição de carga que não é uniforme, definida por
. Aqui,
é o raio da esfera,
é a distância de qualquer ponto na esfera até o centro, e
é uma constante. Nosso objetivo é calcular a carga total distribuída nessa esfera. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de carga.
Passo 2
Para encontrar a carga total (
) distribuída na esfera, vamos integrar a densidade de carga (
) por todo o volume da esfera. A fórmula geral para a carga total é:
Passo 3
Como a distribuição de carga depende apenas da distância
ao centro, é mais fácil trabalhar em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume (
) é dado por:
Passo 4
Substituindo a expressão da densidade de carga e do elemento de volume na integral, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para
:
Resposta
A carga total distribuída na esfera é
.