Calcule o campo elétrico gerado por uma esfera condutora de raio R e com uma carga uniformemente distribuída Q na região interna ( r ) e externa ( r>R ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos. A questão pede para calcular o campo elétrico gerado por uma esfera condutora com raio $ R $ e carga uniformemente distribuída $ Q $ em duas regiões: interna ($ r < R R r > R $). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica $ \varepsilon_0 $:
varepsilon0
Como estamos lidando com uma esfera condutora, a carga está distribuída na superfície. Isso significa que, para $ r < R $, não tem carga dentro da superfície gaussiana que escolhermos, porque toda a carga está na superfície da esfera condutora.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico na região interna ($ r < R $). Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $ menor que $ R $. Como não há carga dentro dessa superfície, $ Q_{interno} = 0 $. Aplicando a Lei de Gauss:
r < R
Como a esfera é condutora e a carga está na superfície, o campo elétrico dentro dela é zero.

Passo 4

Agora, vamos para a região externa ($ r > R $). Aqui, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $ maior que $ R $. Tudo que importa é a carga total dentro dessa superfície, que é $ Q $. A Lei de Gauss nos dá:
r > R
Devido à simetria esférica, o campo elétrico tem o mesmo valor em qualquer ponto da superfície gaussiana e é radial.

Passo 5

Vamos calcular o fluxo elétrico. Como $ \vec{E} $ é constante em magnitude e sempre perpendicular à superfície gaussiana:
E
Resolvendo para $ E $:
E oint dA = E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Esse é o campo elétrico fora da esfera condutora, válido para $ r > R $.

Resposta

O campo elétrico gerado pela esfera condutora é:
  • Na região interna ($ r < R $):
    r < R
  • Na região externa ($ r > R $):
    E = 0

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