Considere uma esfera oca de aço com raio interno 10 cm e raio externo de 20 cm . A condutividade térmica do aço é K=10 W / m^circ C. A superfície interna é mantida a uma temperatura uniforme de 230^circ C e a superfície externa dissipa consecutivamente calor por convecção com coeficiente de transferência de calor h=20 W / m 2^circ C, para um ambiente a 30^circ C. determine a espessura do isolamento de amianto, K=0,5 W / m^circ C necessária para reduzir de 50 % a perda de calor.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca de aço com raio interno de 10 cm e raio externo de 20 cm. A esfera está aquecida internamente a 230°C, e a superfície externa está perdendo calor para o ambiente, que está a 30°C. Queremos adicionar uma camada de isolamento de amianto para diminuir essa perda de calor pela metade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor, aplicando as fórmulas apropriadas para esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor está se movendo na situação inicial, sem o isolamento. O calor está sendo transferido da parte interna da esfera para a externa por condução através do aço, e depois da superfície externa para o ambiente por convecção.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de perda de calor inicial através da esfera de aço e da convecção na superfície externa. Para isso, precisamos calcular as resistências térmicas da condução na esfera e da convecção na superfície.

Passo 4

A resistência térmica para condução em uma esfera é dada pela fórmula:
Rcond = 14 pi Kaço ( 1rin - 1rout ) ç
Onde:
  • $ K_{aço} = 10 , W/m°C $ é a condutividade térmica do aço.
  • $ r_{in} = 0,10 , m $ é o raio interno.
  • $ r_{out} = 0,20 , m $ é o raio externo.

Passo 5

Vamos calcular $ R_{cond} $:
Rcond

Passo 6

Agora, a resistência térmica para convecção na superfície externa é dada por:
Rconv = 1h times 4 pi rout^2
Onde:
  • $ h = 20 , W/m^2°C $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • $ r_{out} = 0,20 , m $.

Passo 7

Vamos calcular $ R_{conv} $:
Rconv

Passo 8

A resistência térmica total sem isolamento é a soma das resistências da condução e da convecção:
Rtotal inicial = Rcond + Rconv = 18 pi + 13,2 pi = 0,125 + 0,3125pi = 0,4375pi , °C/W

Passo 9

A taxa de perda de calor inicial ($ q_{inicial} $) pode ser encontrada usando a diferença de temperatura dividida pela resistência total:
qinicial

Passo 10

Queremos reduzir essa perda de calor em 50%, então a nova taxa de perda de calor ($ q_{novo} $) será:
qnovo

Passo 11

Agora, vamos adicionar a resistência térmica do isolamento de amianto ($ R_{isolation} $). A resistência para condução através do isolamento esférico é:
Risolation
Onde:
  • $ K_{asb} = 0,5 , W/m°C $ é a condutividade térmica do amianto.
  • $ r_{insul} $ é o raio externo do isolamento que precisamos encontrar.

Passo 12

A nova resistência térmica total com o isolamento será:
Rtotal novo = Rcond + Risolation + Rconv
E a nova taxa de perda de calor será:
qnovo = Tin - TambRtotal novo = 720 , W

Passo 13

Substituindo os valores conhecidos:
720 = 20018 pi + 14 pi times 0,5 ( 10,20 - 1rinsul ) + 13,2 pi

Passo 14

Vamos resolver a equação para $ r_{insul} $:
rinsul
Simplificando:
200720 = 18 pi + 12 pi ( 10,20 - 1rinsul ) + 13,2 pi

Passo 15

Multiplicando ambos os lados por $ 8 \pi $ para simplificar:
8 pi
Simplificando os termos:
518 times 8 pi = 1 + 4 ( 5 - 1rinsul ) + 8 pi3,2 pi
40 pi18 = 1 + 20 - 4rinsul + 2.5

Passo 16

Resolvendo para $ \frac{4}{r_{insul}} $:
4rinsul
Calculando numérico:
4rinsul = 23.5 - 40 pi18
Então:
40 pi18 approx 6.98

Passo 17

Agora, resolvendo para $ r_{insul} $:
rinsul

Passo 18

A espessura do isolamento de amianto ($ \delta $) é a diferença entre o raio externo do isolamento e o raio externo da esfera de aço:
de

Resposta

A espessura do isolamento de amianto necessária para reduzir a perda de calor em 50% é de aproximadamente 4,2 cm.

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