Considere uma esfera oca de aço com raio interno 10 cm e raio externo de 20 cm . A condutividade térmica do aço é
. A superfície interna é mantida a uma temperatura uniforme de
e a superfície externa dissipa consecutivamente calor por convecção com coeficiente de transferência de calor
, para um ambiente a
. determine a espessura do isolamento de amianto,
necessária para reduzir de
a perda de calor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera oca de aço com raio interno de 10 cm e raio externo de 20 cm. A esfera está aquecida internamente a 230°C, e a superfície externa está perdendo calor para o ambiente, que está a 30°C. Queremos adicionar uma camada de isolamento de amianto para diminuir essa perda de calor pela metade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução e convecção de calor, aplicando as fórmulas apropriadas para esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o calor está se movendo na situação inicial, sem o isolamento. O calor está sendo transferido da parte interna da esfera para a externa por condução através do aço, e depois da superfície externa para o ambiente por convecção.
Passo 3
Vamos calcular a taxa de perda de calor inicial através da esfera de aço e da convecção na superfície externa. Para isso, precisamos calcular as resistências térmicas da condução na esfera e da convecção na superfície.
Passo 4
A resistência térmica para condução em uma esfera é dada pela fórmula:
Onde:
- $ K_{aço} = 10 , W/m°C $ é a condutividade térmica do aço.
- $ r_{in} = 0,10 , m $ é o raio interno.
- $ r_{out} = 0,20 , m $ é o raio externo.
Passo 5
Vamos calcular $ R_{cond} $:
Passo 6
Agora, a resistência térmica para convecção na superfície externa é dada por:
Onde:
- $ h = 20 , W/m^2°C $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
- $ r_{out} = 0,20 , m $.
Passo 7
Vamos calcular $ R_{conv} $:
Passo 8
A resistência térmica total sem isolamento é a soma das resistências da condução e da convecção:
Passo 9
A taxa de perda de calor inicial ($ q_{inicial} $) pode ser encontrada usando a diferença de temperatura dividida pela resistência total:
Passo 10
Queremos reduzir essa perda de calor em 50%, então a nova taxa de perda de calor ($ q_{novo} $) será:
Passo 11
Agora, vamos adicionar a resistência térmica do isolamento de amianto ($ R_{isolation} $). A resistência para condução através do isolamento esférico é:
Onde:
- $ K_{asb} = 0,5 , W/m°C $ é a condutividade térmica do amianto.
- $ r_{insul} $ é o raio externo do isolamento que precisamos encontrar.
Passo 12
A nova resistência térmica total com o isolamento será:
E a nova taxa de perda de calor será:
Passo 13
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 14
Vamos resolver a equação para $ r_{insul} $:
Simplificando:
Passo 15
Multiplicando ambos os lados por $ 8 \pi $ para simplificar:
Simplificando os termos:
Passo 16
Resolvendo para $ \frac{4}{r_{insul}} $:
Calculando numérico:
Então:
Passo 17
Agora, resolvendo para $ r_{insul} $:
Passo 18
A espessura do isolamento de amianto ($ \delta $) é a diferença entre o raio externo do isolamento e o raio externo da esfera de aço:
Resposta
A espessura do isolamento de amianto necessária para reduzir a perda de calor em 50% é de aproximadamente 4,2 cm.