Um tubo de vapor de aço ( k=15 W / m^circ C ), com raio externo de 4 cm e espessura 1 cm , está recoberto por uma camada de isolamento de amianto de espessura 1 cm e condutividade térmica k =0,15 W / m^circ C, recoberto, por sua vez, com um isolamento de fibra de vidro de espessura 3 cm e e condutividade térmica k=0,043 W / m^circ C. A superfície interna do tubo está à temperatura de 330^circ C, e a espessura externa do isolamento da fibra de vidro está a 30^circ C. Calcular as temperaturas nas interfaces dos materiais.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria ela envolve. A gente tem um tubo de aço que está sendo isolado por duas camadas diferentes: uma de amianto e outra de fibra de vidro. A temperatura na parte interna do tubo é de 330°C e na parte externa da fibra de vidro é de 30°C. Nosso objetivo aqui é descobrir quais são as temperaturas nas interfaces entre esses materiais.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor em regime estacionário para sistemas cilíndricos. Basicamente, vamos calcular como o calor se propaga através dessas camadas e encontrar as temperaturas nos pontos onde cada material se encontra com o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as características de cada camada:
  • Tubo de aço:
    • Condutividade térmica, $ k_1 = 15 , \mathrm{W/m°C} $
    • Raio externo, $ r_1 = 4 , cm $
    • Espessura, $ \delta_1 = 1 , cm $
    • Portanto, o raio interno, $ r_{1i} = r_1 - \delta_1 = 3 , cm $
  • Isolamento de amianto:
    • Condutividade térmica, $ k_2 = 0,15 , \mathrm{W/m°C} $
    • Espessura, $ \delta_2 = 1 , cm $
    • Raio externo, $ r_2 = r_1 + \delta_2 = 5 , cm $
  • Isolamento de fibra de vidro:
    • Condutividade térmica, $ k_3 = 0,043 , \mathrm{W/m°C} $
    • Espessura, $ \delta_3 = 3 , cm $
    • Raio externo, $ r_3 = r_2 + \delta_3 = 8 , cm $
As temperaturas conhecidas são:
  • $ T_i = 330°C $ (superfície interna do tubo)
  • $ T_o = 30°C $ (superfície externa da fibra de vidro)
Queremos encontrar:
  • $ T_m $ = temperatura na interface entre o tubo de aço e o isolamento de amianto (em $ r_1 = 4 , cm $)
  • $ T_n $ = temperatura na interface entre o isolamento de amianto e a fibra de vidro (em $ r_2 = 5 , cm $)

Passo 3

Vamos usar a fórmula da condução de calor para sistemas cilíndricos em regime estacionário:
Q = 2 pi L k (Tint - Text)ln(rext / rint)
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de transferência de calor
  • $ L $ é o comprimento do tubo (podemos considerar 1 metro para simplificar)
  • $ k $ é a condutividade térmica do material
  • $ T_{int} $ e $ T_{ext} $ são as temperaturas interna e externa da camada
  • $ r_{int} $ e $ r_{ext} $ são os raios interno e externo da camada
Como o sistema está em equilíbrio, a taxa de transferência de calor $ Q $ é a mesma em todas as camadas.

Passo 4

Vamos calcular as resistências térmicas de cada camada. A resistência térmica para condução em cilindros é dada por:
R = ln(rext / rint)2 pi k L
Assumindo $ L = 1 , m $, as resistências ficam:
  • Resistência do tubo de aço ($ R_1 $):
    L = 1 , m
  • Resistência do amianto ($ R_2 $):
    R1
  • Resistência da fibra de vidro ($ R_3 $):
    R1 = ln(r1 / r1i)2 pi k1 = ln(4/3)2 pi times 15

Passo 5

Vamos calcular cada resistência térmica numericamente:
  • Resistência do tubo de aço ($ R_1 $):
    R1
  • Resistência do amianto ($ R_2 $):
    R1 = ln(4/3)2 pi times 15 approx 0,287794,248 approx 0,00305 , °C/W
  • Resistência da fibra de vidro ($ R_3 $):
    R2

Passo 6

A soma das resistências térmicas total ($ R_{total} $) é:
Rtotal
A diferença de temperatura total ($ \Delta T $) é:
Rtotal = R1 + R2 + R3 = 0,00305 + 0,236 + 1,738 approx 1,977 , °C/W
Agora, podemos calcular a taxa de transferência de calor $ Q $:
De

Passo 7

Agora que sabemos $ Q $, podemos encontrar as quedas de temperatura em cada camada usando $ \Delta T = Q \times R $:
  • Queda de temperatura no tubo de aço ($ \Delta T_1 $):
    Q
    Então, $ T_m = T_i - \Delta T_1 = 330 - 0,463 \approx 329,54°C $
  • Queda de temperatura no amianto ($ \Delta T_2 $):
    De
    Então, $ T_n = T_m - \Delta T_2 = 329,54 - 35,83 \approx 293,71°C $
  • Queda de temperatura na fibra de vidro ($ \Delta T_3 $):
    De
    Confirmando a temperatura externa: $ T_n - \Delta T_3 = 293,71 - 263,83 \approx 29,88°C $, que está próximo dos 30°C fornecidos.

Resposta

As temperaturas nas interfaces dos materiais são aproximadamente:
  • Interface entre o tubo de aço e o amianto: $ T_m \approx 329,54°C $
  • Interface entre o amianto e a fibra de vidro: $ T_n \approx 293,71°C $

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