Duas grandes chapas paralelas estão a
(emissividade 0,5) e
(emissividade 0,8). Entre elas, coloca-se uma blindagem de emissividades 3,1 = 0,1 e 3,2 = 0,05 . Quais as taxas de transferência sem e com blindagem?
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício que envolve duas grandes chapas paralelas com temperaturas diferentes: uma está a $ T_1 = 800 , K $ com emissividade $ \varepsilon_1 = 0,5 $ e a outra a $ T_2 = 600 , K $ com emissividade $ \varepsilon_2 = 0,8 $. Entre elas, colocamos uma blindagem com emissividades $ \varepsilon_{3,1} = 0,1 $ e $ \varepsilon_{3,2} = 0,05 $. Queremos descobrir as taxas de transferência de calor por radiação sem e com essa blindagem.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transferência de calor por radiação e utilizar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos ajuda a calcular a quantidade de energia emitida por um corpo em função da sua temperatura e emissividade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a taxa de transferência de calor sem a blindagem. A transferência de calor por radiação entre duas superfícies paralelas pode ser calculada usando a seguinte fórmula da Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde:
- $ Q $ é a taxa de transferência de calor,
- $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ($ 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $),
- $ A $ é a área das chapas,
- $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas das chapas,
- $ \varepsilon_1 $ e $ \varepsilon_2 $ são as emissividades das chapas.
Como não foi fornecida a área $ A $, vamos assumir que estamos calculando a taxa de transferência por unidade de área, ou seja, $ A = 1 , m^2 $.
Então, simplificando a fórmula para unidade de área:
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores numéricos sem a blindagem. Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos $ 800^4 $ e $ 600^4 $:
A diferença é:
Agora, calculamos o denominador:
E o numerador das emissividades:
Então:
Primeiro, multiplicamos $ 5,67 \times 10^{-8} $ por $ 280000000000 $:
Agora, multiplicamos por $ \frac{0,4}{0,9} $:
Passo 4
Agora, vamos considerar a presença da blindagem com emissividades $ \varepsilon_{3,1} = 0,1 $ e $ \varepsilon_{3,2} = 0,05 $. Com a blindagem, a transferência de calor ocorre em duas etapas: de $ T_1 $ para a blindagem ($ T_3 $) e de $ T_3 $ para $ T_2 $.
A taxa de transferência de calor com a blindagem pode ser calculada usando a seguinte fórmula combinada:
Para simplificar, assumimos que o sistema alcança um equilíbrio térmico onde $ Q $ é constante em ambas as etapas.
Entretanto, para uma análise mais simples e considerando que a blindagem está entre as duas placas, podemos usar uma fórmula ajustada para múltiplas superfícies:
No entanto, com a blindagem, precisamos considerar as emissividades entre cada par de superfícies. Mas para manter a simplicidade, vamos usar uma abordagem sequencial.
Primeiro, assumimos que a blindagem $ T_3 $ está em equilíbrio entre $ T_1 $ e $ T_2 $, então podemos igualar as taxas de transferência:
Cancelando $ \sigma $ e rearranjando:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ T_3 $ e, em seguida, calcular $ Q $.
Passo 5
Vamos substituir os valores:
Primeiro, expandimos a equação:
Rearranjando os termos:
Calculando os valores:
Agora, isolamos $ T_3^4 $:
Tirando a raiz quarta:
Agora que temos $ T_3 $, podemos calcular $ Q $:
Calculando $ 700^4 $:
Então:
Resposta
Sem a blindagem, a taxa de transferência de calor é aproximadamente $ 7.060 , W/m^2 $. Com a blindagem instalada, essa taxa diminui para cerca de $ 9.624 , W/m^2 $.