Duas grandes chapas paralelas estão a T1=800 K (emissividade 0,5) e T2=600 K (emissividade 0,8). Entre elas, coloca-se uma blindagem de emissividades 3,1 = 0,1 e 3,2 = 0,05 . Quais as taxas de transferência sem e com blindagem?

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício que envolve duas grandes chapas paralelas com temperaturas diferentes: uma está a $ T_1 = 800 , K $ com emissividade $ \varepsilon_1 = 0,5 $ e a outra a $ T_2 = 600 , K $ com emissividade $ \varepsilon_2 = 0,8 $. Entre elas, colocamos uma blindagem com emissividades $ \varepsilon_{3,1} = 0,1 $ e $ \varepsilon_{3,2} = 0,05 $. Queremos descobrir as taxas de transferência de calor por radiação sem e com essa blindagem.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transferência de calor por radiação e utilizar a Lei de Stefan-Boltzmann, que nos ajuda a calcular a quantidade de energia emitida por um corpo em função da sua temperatura e emissividade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a taxa de transferência de calor sem a blindagem. A transferência de calor por radiação entre duas superfícies paralelas pode ser calculada usando a seguinte fórmula da Lei de Stefan-Boltzmann:
Q = sigma cdot A cdot (T1^4 - T2^4) cdot varepsilon1 varepsilon21 - (1 - varepsilon1)(1 - varepsilon2)
Onde:
  • $ Q $ é a taxa de transferência de calor,
  • $ \sigma $ é a constante de Stefan-Boltzmann ($ 5,67 \times 10^{-8} , W/m2\text{K}4 $),
  • $ A $ é a área das chapas,
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas das chapas,
  • $ \varepsilon_1 $ e $ \varepsilon_2 $ são as emissividades das chapas.
Como não foi fornecida a área $ A $, vamos assumir que estamos calculando a taxa de transferência por unidade de área, ou seja, $ A = 1 , m^2 $.
Então, simplificando a fórmula para unidade de área:
Q

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores numéricos sem a blindagem. Substituindo os valores:
Q = 5,67 times 10^-8 cdot (800^4 - 600^4) cdot 0,5 times 0,81 - (1 - 0,5)(1 - 0,8)
Primeiro, calculamos $ 800^4 $ e $ 600^4 $:
800^4
600^4
A diferença é:
800^4 = 409600000000 , K^4
Agora, calculamos o denominador:
600^4 = 129600000000 , K^4
E o numerador das emissividades:
800^4 - 600^4 = 409600000000 - 129600000000 = 280000000000 , K^4
Então:
1 - (1 - 0,5)(1 - 0,8) = 1 - (0,5 times 0,2) = 1 - 0,1 = 0,9
Primeiro, multiplicamos $ 5,67 \times 10^{-8} $ por $ 280000000000 $:
0,5 times 0,8 = 0,4
Agora, multiplicamos por $ \frac{0,4}{0,9} $:
Q = 5,67 times 10^-8 cdot 280000000000 cdot 0,40,9

Passo 4

Agora, vamos considerar a presença da blindagem com emissividades $ \varepsilon_{3,1} = 0,1 $ e $ \varepsilon_{3,2} = 0,05 $. Com a blindagem, a transferência de calor ocorre em duas etapas: de $ T_1 $ para a blindagem ($ T_3 $) e de $ T_3 $ para $ T_2 $.
A taxa de transferência de calor com a blindagem pode ser calculada usando a seguinte fórmula combinada:
varepsilon3,1 = 0,1
Para simplificar, assumimos que o sistema alcança um equilíbrio térmico onde $ Q $ é constante em ambas as etapas.
Entretanto, para uma análise mais simples e considerando que a blindagem está entre as duas placas, podemos usar uma fórmula ajustada para múltiplas superfícies:
varepsilon3,2 = 0,05
No entanto, com a blindagem, precisamos considerar as emissividades entre cada par de superfícies. Mas para manter a simplicidade, vamos usar uma abordagem sequencial.
Primeiro, assumimos que a blindagem $ T_3 $ está em equilíbrio entre $ T_1 $ e $ T_2 $, então podemos igualar as taxas de transferência:
T1
Cancelando $ \sigma $ e rearranjando:
T3
Vamos resolver essa equação para encontrar $ T_3 $ e, em seguida, calcular $ Q $.

Passo 5

Vamos substituir os valores:
(800^4 - T3^4) cdot 0,1 = (T3^4 - 600^4) cdot 0,05
Primeiro, expandimos a equação:
0,1 cdot 800^4 - 0,1 cdot T3^4 = 0,05 cdot T3^4 - 0,05 cdot 600^4
Rearranjando os termos:
0,1 cdot 800^4 + 0,05 cdot 600^4 = 0,1 cdot T3^4 + 0,05 cdot T3^4
0,1 cdot 800^4 + 0,05 cdot 600^4 = 0,15 cdot T3^4
Calculando os valores:
0,1 cdot 409600000000 + 0,05 cdot 129600000000 = 0,15 cdot T3^4
40960000000 + 6480000000 = 0,15 cdot T3^4
47440000000 = 0,15 cdot T3^4
Agora, isolamos $ T_3^4 $:
T3^4
Tirando a raiz quarta:
T3^4 = 474400000000,15 approx 316266666666,67 , K^4
Agora que temos $ T_3 $, podemos calcular $ Q $:
T3 = raiz[4]316266666666,67 approx 700 , K
Calculando $ 700^4 $:
T3
Então:
Q
Q = sigma cdot (800^4 - 700^4) cdot 0,1
700^4

Resposta

Sem a blindagem, a taxa de transferência de calor é aproximadamente $ 7.060 , W/m^2 $. Com a blindagem instalada, essa taxa diminui para cerca de $ 9.624 , W/m^2 $.

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