Considere uma espira de fio, com o formato quadrado, com lados de comprimento a e resistência total de R Omega. A espira está localizada no primeiro quadrante com um dos vértices na origem. Nessa região há um campo magnético dependente do tempo dado pela expressão: B(y, t)=k cdot y cdot t^wed>=(-2) no sentido z (onde k é uma constante).
Determine a f.e.m. (varepsilon(t)) e a corrente induzida na espira, I(t).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira quadrada de fio com cada lado medindo $ a $ e resistência total de $ R $ ohms. Ela está posicionada no primeiro quadrante do plano, com um dos cantos na origem. Nessa região, há um campo magnético que muda com o tempo, dado por $ B(y, t) = k \cdot y \cdot t^{-2} $ na direção $ z $.
Nosso objetivo é encontrar a força eletromotriz induzida $ \varepsilon(t) $ e a corrente induzida $ I(t) $ na espira. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo magnético e a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo magnético. O fluxo magnético $ \Phi $ através de uma área é dado por:
Phi
No nosso caso, o campo magnético $ \mathbf{B} $ está na direção $ z $, e a área da espira está no plano $ xy $. Então, $ d\mathbf{A} $ também está na direção $ z $, e podemos simplificar o produto escalar para:
Phi(t) = integral integral B cdot dA

Passo 3

Substituindo a expressão de $ B(y, t) $:
B(y, t)
Como $ k $ e $ t^{-2} $ são constantes em relação às integrações, podemos tirar eles da integral:
Phi(t) = integral0^a integral0^a k cdot y cdot t^-2 , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver as integrações. Primeiro, a integral interna em $ y $:
y
Substituindo de volta:
integral0^a y , dy = [ y^22 ]0^a = a^22

Passo 5

A integral em $ x $ é simples:
x
Então, o fluxo magnético fica:
integral0^a dx = a

Passo 6

Agora, vamos usar a Lei de Faraday para encontrar a força eletromotriz induzida $ \varepsilon(t) $:
varepsilon(t)
Calculando a derivada de $ \Phi(t) $:
varepsilon(t) = -dPhi(t)dt
Então:
Phi(t)

Passo 7

Para encontrar a corrente induzida $ I(t) $, usamos a relação entre a força eletromotriz e a resistência da espira:
I(t)
Substituindo $ \varepsilon(t) $:
I(t) = varepsilon(t)R

Resposta

A força eletromotriz induzida é $ \varepsilon(t) = k a^3 \cdot t^{-3} $ e a corrente induzida na espira é $ I(t) = \frac{k a^3}{R} \cdot t^{-3} $.

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