Considere uma espira de fio, com o formato quadrado, com lados de comprimento a e resistência total de
. A espira está localizada no primeiro quadrante com um dos vértices na origem. Nessa região há um campo magnético dependente do tempo dado pela expressão:
no sentido
(onde
é uma constante).
Determine a f.e.m.
e a corrente induzida na espira, I(t).
Determine a f.e.m.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira quadrada de fio com cada lado medindo $ a $ e resistência total de $ R $ ohms. Ela está posicionada no primeiro quadrante do plano, com um dos cantos na origem. Nessa região, há um campo magnético que muda com o tempo, dado por $ B(y, t) = k \cdot y \cdot t^{-2} $ na direção $ z $.
Nosso objetivo é encontrar a força eletromotriz induzida $ \varepsilon(t) $ e a corrente induzida $ I(t) $ na espira. Para isso, vamos usar conceitos de fluxo magnético e a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo magnético. O fluxo magnético $ \Phi $ através de uma área é dado por:
No nosso caso, o campo magnético $ \mathbf{B} $ está na direção $ z $, e a área da espira está no plano $ xy $. Então, $ d\mathbf{A} $ também está na direção $ z $, e podemos simplificar o produto escalar para:
Passo 3
Substituindo a expressão de $ B(y, t) $:
Como $ k $ e $ t^{-2} $ são constantes em relação às integrações, podemos tirar eles da integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver as integrações. Primeiro, a integral interna em $ y $:
Substituindo de volta:
Passo 5
A integral em $ x $ é simples:
Então, o fluxo magnético fica:
Passo 6
Agora, vamos usar a Lei de Faraday para encontrar a força eletromotriz induzida $ \varepsilon(t) $:
Calculando a derivada de $ \Phi(t) $:
Então:
Passo 7
Para encontrar a corrente induzida $ I(t) $, usamos a relação entre a força eletromotriz e a resistência da espira:
Substituindo $ \varepsilon(t) $:
Resposta
A força eletromotriz induzida é $ \varepsilon(t) = k a^3 \cdot t^{-3} $ e a corrente induzida na espira é $ I(t) = \frac{k a^3}{R} \cdot t^{-3} $.